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Sulla classificazione delle superficie algebriche particolarmente di genere zero. (Italian) JFM 60.1279.01
Die Schrift ist eine Fortsetzung der “Lezioni sulla teoria delle superficie algebriche” (Padova 1932; F. d. M. 58) und gibt einen Überblick über neuere Arbeiten, vor allem des Verf., über die geometrische Theorie der algebraischen Flächen.
Inhalt: 1. Numerische Invarianten der algebraischen Flächen und mehrfache Ebenen. - 2. Die kennzeichnende Eigenschaft der irregulären Flächen. - 3. Die irregulären Flächen vom geometrischen Geschlecht Null.
Das erste Kapitel behandelt die Zeuthen-Segresche Invariante \(J\) und ihren Zusammenhang mit den absoluten Invarianten \(p_a\) und \(\bar p^{(1)}\) der Fläche und die ähnliche Erklärung von \(p_a\) mittels der Anzahl \(\chi \) der Kurven eines Netzes, die Spitzen aufweisen. Projiziert man eine Fläche, deren Ebenenschnitte das Geschlecht \(\pi \) haben, auf eine \(n\)-fache Ebene, so entnimmt man dem Vorangehenden die projektiven Plückerschen Invarianten der Übergangskurve; dies führt zur umgekehrten Frage, wann eine ebene Kurve mit gegebenen Charakteren Übergangskurve einer \(n\)-fachen Ebene ist; nach deren Klärung kann in ähnlicher Weise, wie bei den Kurven, die Modulanzahl einer Fläche ermittelt werden; die Endformel enthält eine neue Invariante, über deren Wesen noch nichts Abschließendes bekannt ist.
Das zweite Kapitel beginnt mit dem Beweis der Tatsache, daß auf einer irregulären Fläche vom Geschlecht \(p_g=0\) jedes vollständige lineare Kurvensystem \(|C|\) einer stetigen Gesamtheit von \(\infty ^p\) solchen Linearsystemen \((p=p_g-p_a)\) angehört. Der Satz ist auch für \(p_g\neq 0\) richtig, aber der Beweis unterliegt einem von Severi erhobenen Einwand, zu dessen Behebung Verf. einen Weg weist. Die Flächen der Irregularität \(p\) mit \(p_g=0\) besitzen die weitere kennzeichnende Eigenschaft, daß sich auf ihnen ein irrationales Kurvenbüschel vom Geschlecht \(p\) finden läßt, das zugleich einzig ist.
Der dritte Abschnitt beginnt mit dem Satze, daß eine Fläche, auf der die Folge der sukzessiven adjungierten Systeme eines linearen Kurvensystems abbricht, einer Regelfläche äquivalent ist, d. h. ein Büschel rationaler Kurven enthält. Abweichend vom ursprünglichen Beweis (Enriques-Castelnuovo, 1901; F. d. M. 32, 622 (JFM 32.0622.*)) wird hier der zuletzt genannte Satz benutzt. Zu diesen Flächen gehören insbesondere diejenigen mit \(p_a<-1\), \(p_g=0\). Ist \(p_a=-1\), \(p_g=0\) und die Fläche \(F\) keiner Regelfläche äquivalent, so besitzt sie ein elliptisches Büschel von Kurven \(K\) des Geschlechts \(\pi >0\); ist dann \(\pi >1\), so enthält \(F\) außerdem ein lineares Büschel birational äquivalenter elliptischer Kurven \(C\). Der zchwierige Beweis beruht auf der Betrachtung der Kurven der kontinuierlichen Systeme, die von den mehrfach kanonischen Systemen bestimmt werden. Die zerfallenden Kurven \(C\) bestehen aus einer mehrfach gezählten elliptischen Kurve. Die Büschel \(C\) und \(K\) vermitteln die Abbildung von \(F\) auf einen mehrfachen elliptischen Zylinder, dessen Übergangskurve nur aus Normalschnitten zu den Erzeugenden zusammengesetzt ist, und umgekehrt besitzt jeder solche Zylinder die Charaktere \(p_a=-1\), \(p_g=0\). Die Schnittzahl \(n\) der Büschel \(C\) und \(K\) ist die “Determinante” der Fläche und eine neue birationale Invariante. Die Ergebnisse behalten auch im Falle \(\pi = 1\) ihre Gültigkeit. Bei dieser Gelegenheit weist Verf. auf die “paraelliptischen” Flächen hin, die ein elliptisches Büschel elliptischer Kurven und ein lineares Büschel von Kurven des Geschechts \(>1\) aufweisen; für sie ist immer \(p_g-p_a=1\) und \(p_g\geq 1\). Die Flächen mit \(p_a=-1\) und \(p_g=0\) gestatten eine einparametrige elliptische Gruppe von Transformationen in sich mit den Trajektorien \(C\); umgekehrt nennt man Flächen mit dieser Eigenschaft elliptische Flächen; es gibt solche für jeden Wert von \(p_g\), sie haben \(p_a=-1\). Die elliptischen Flächen mit \(p_g=0\) können sämtlich auf Grund der obigen Zylinderabbildung konstruiert werden; die Schnittgruppen \(G_n\) der \(C\) und \(K\) bilden eine Involution \(J_n\) auf \(F\), die von einer endlichen Gruppe \(\Gamma _n\) von Transformationen der \(F\) in sich erzeugt wird; \(\Gamma _n\) ist zyklisch oder abelsch mit zwei Erzeugenden. Im ersten Falle gestattet \(F\) die Darstellung \[ f(x,y) = 0;\quad u=\root n\of {(z-a_1)^{r_1}\cdots (z-a_t)^{r_t}\cdot \varphi (x,y)}, \] wobei \[ r_1+r_2+\cdots +r_t\equiv 0\mod n \] ist, \(\varphi (x,y) =0\) die Leitkurve \(f(x,y)=0\) in jedem Treffpunkte \(n\)-fach berüht und jede der Verzweigungszahlen \(s_i\) Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der übrigen \(s_i\) ist; dabei ist \(s_i\) der Quotient aus \(n\) und dem größten gemeinsamen Teiler von \(n\) und \(r_i\). Im zweiten Falle ist \(u\) die Summe zweier solcher Radikale. Der Spezialfall, daß die \(K\) elliptisch sind (\(\pi =1\)), wird weiter verfolgt; die virtuelle kanonische Kurve hat die Ordnung Null; haben die \(K\) allgemeinen Modul, so ist \(n\) gleich 2 oder 4, sind sie harmonisch, so ist \(n\) gleich 4 oder 8, im äquianharmonischen Falle wird \(n\) gleich 3, 6 oder 9; die zugehörigen Darstellungen von \(F\) werden abgeleitet. Zum Schluß berechnet Verf. die Mehrgeschlechter \(P_i\) der elliptischen Flächen mit \(p_g=0\) und leitet daraus als notwendige und hinreichende Bedingung für die Äquivalenz von \(F\) mit einer Regelfläche die Gleichung \(P_{12}=0\) her; soll eine elliptische Fläche mit \(p_g=0\) eine virtuelle kanonische Kurve der Ordnung Null haben, so ist dafür \(P_{12}=1\) kennzeichnend; dies führt zur vollständigen Klassifikation der Flächen mit \(p_g=0\).

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