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Nouvelles recherches sur les surfaces réglées. (French) JFM 60.1303.01
Die umfangreiche Arbeit gibt eine vollständige Theorie der Regelflächen unter Heranziehung neuer Gesichtspunkte zu ihrer einheitlichen analytischen Darstellung. Eine Regelfläche \((S)\) wird durch die Bewegung einer Geraden im Raum erzeugt, die an einer festen Kurve (Leitkurve) entlanggleitet. Als Leitkurve wählt man gewöhnlich eine solche, die sämtliche Erzeugenden der Fläche trifft. Diese Wahl kann aber, wie der Verf. zeigt, auch anders getroffen werden und führt dann zu wesentlichen Vereinfachungen in der Darstellung und Ableitung der Eigenschaften der Regelflächen. Es gibt bekanntlich auf jeder Fläche eine ausgezeichnete Kurve, die Striktionslinie \((C)\); die Tangentialebenen sind durch den sogenannten Verteilungsparameter bestimmt. Wegen der wichtigen geometrischen Eigenschaften von \((C)\) ist es natürlich, sie als Leitkurve zu wählen, wodurch, wie der Verf. im einzelnen nachweist, große Vereinfachungen bei der Untersuchung der Regelflächen erzielt, und dieselben durch intrinseke Eigenschaften im Sinne Cesáros erfaßt werden. Die Überlegungen können mit Nutzen auch auf beliebige Flächen angewendet werden. Die durch einen Literaturweiser vervollständigte Arbeit ist in sechs Kapitel aufgegliedert; von jedem derselben geben wir im folgenden eine kurze Inhaltsangabe.
Kap. I entwickelt die fundamentalen Gleichungen, wie sie sich bei Benutzung der Striktionslinie als Leitkurve der Fläche ergeben, und die daraus folgenden Aussagen. Es wird zuerst die analytische Bedingung dafür hergeleitet, daß eine Kurve \((C)\) für eine vorgegebene Regelfläche \((S)\) Striktionslinie ist, und es werden die geometrischen Deutungen dieser Bedingung angegeben. Damit kann gezeigt werden, daß eine Regelfläche durch Vorgabe des Richtungskegels und der Striktionslinie vollständig bestimmt ist. Die Entwicklung des Kalküls des Verteilungsparameters liefert interessante geometrische Zusammenhänge mit einer gewissen isotropen Kongruenz. Die Untersuchung der Flächen mit Rotationsrichtungskegel ergibt Beziehungen, die unmittebar darstellendgeometrisch nutzbar gemacht werden können. Die Einführung der zu einer Regelfläche \((S)\) reziproken Regelfläche \((S')\), die bei wechselnder Wahl des gemeinsamen Lotes zweier konsekutiver Erzeugenden von \((S)\) entsteht und dieselbe Striktionslinie wie \((S)\) besitzt, ermöglicht die Ableitung von Beziehungen zwischen den Verteilungsparametern reziproker Regelflächen, die das Verhältnis beider Parameter in interessanten geometrischen Zusammenhang mit der geodätischen Krümmung bringen. Für jede Regelfläche wird dann die Quadratsumme aus Normalkrümmung und geodätischer Torsion in bezug auf die Striktionslinie durch einen analytischen Ausdruck explizit angegeben und gezeigt, daß zwei hieraus abgeleitete Ausdrücke beim Übergang von einer Fläche zu einer bestimmten “entsprechenden” erhalten bleiben. Es folgen dann leicht einige Erzeugungen von Flächen mit geradliniger Striktionslinie, worauf diejenigen Flächen charakterisiert werden, deren Striktionslinie eine Asymptotenlinie ist. Hierauf werden Flächenbestimmungen für vorgegebene Werte spezieller Elemente durchgeführt, die Flächen mit konstantem Verteilungsparameter und ihre Eigenschaften dargestellt, Bertrand-Kurven und Kurven konstanter Torsion aufgesucht.
Diesem im Zusammenhang der ganzen Arbeit wichtigsten Kapitel folgt in Kap. II die Behandlung von Verallgemeinerungen der Serret-Frenetschen Formeln auf Flächen nach dem Vorgang von Cesàro
Kap. III beschäftigt sich mit der Untersuchung der Asymptotenlinien der Regelflächen unter besonderer Berücksichtigung derjenigen Typen, für die die Differentialgleichung der Asymptotenlinien auf Quadraturen zurückgeführt werden kann.
Kap. IV behandelt in aller Ausführlichkeit die Biegungstheorie der Regelflächen, wobei interessante geometrische Einsichten gewonnen werden.
Kap. V ist der Untersuchung der für die Verbiegung der Quadriken wichtigen \((W)\)-Kongruenzen im Anschluß an die Arbeiten von Bianchi gewidmet.
Das letzte Kapitel endlich bringt die wichtigsten Anwendungen der im Kap. I abgeleiteten Beziehungen auf die allgemeine Flächentheorie. Die Normal- und geodätische Krümmung, die Sätze von Meusnier und von Enneper-Beltrami können in diesem Zusammenhang sehr leicht gewonnen werden.
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Full Text: DOI Numdam EuDML
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