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Les courbes de la variété générale à \(n\) dimensions. (French) JFM 60.1311.04

74 p. Paris, Gauthier-Villars (Mémorial Sc. math. fasc. 63) (1934).
Nachdem C. Guichard in gleicher Form eine Studie über den wesentlichen Stand der Kenntnisse auf dem Gebiet der Theorie der Kurven euklidischer \(n\)-dimensionaler Räume veröffentlicht hatte (vgl. C. Guichard, Les courbes de l’espace à \(n\) dimensions, Parie 1928; F. d. M. 54, 756 (JFM 54.0756.*)), mochte der Zeitpunkt gekommen sein, eine ähnliche Darstellung einer Kurventheorie in Räumen mit mehr oder weniger allgemeiner linearer Übertragung zu geben. Einem derartigen Unternehmen geht im allgemeinen eine Darlegung der formalen Hilfsmittel voran. Entsprechend stellt Verf. in einem einleitenden Abschnitt alle später benutzten Begriffe, typischen Symbole, Termini und mit diesen die Grundzüge des einer linearen Übertragung entsprechenden Vektor- und Tensorkalküls zusammen.
Kap. II führt bereits in medias res. Auf Grund der Übertragung \[ \Gamma _{\lambda \mu }^\nu =\frac 12 g^{\nu \alpha }\Bigl (\frac {\partial g_{\lambda \alpha }}{\partial z^\mu }+\frac {\partial g_{\alpha \mu }}{\partial x^\lambda }+\frac {\partial g_{\lambda \mu }}{\partial x^\alpha }\Bigr ) + S_{\lambda \mu }^{\cdot \cdot \nu }=g^{\nu \beta }(g_{\lambda \alpha } S_{\beta \mu }^{\cdot \cdot \alpha }+g_{\mu \alpha } S_{\beta \mu }^{\cdot \cdot \alpha }) \] (\(S_{\lambda \mu }^{\cdot \cdot \nu }\) Torsion, \(g_{\mu \nu }\) Metrik) werden alle Differentialinvarianten der Kurve \(x_{\nu }=x_\nu (t)\) aufgestellt, diskutiert, an Hand der verallgemeinerten Frenetformeln auf Fälle konstanter und verschwindender Größen spezialisiert usw. Das wesentliche Ergebnis ist dabei die eindeutige Bestimmung der Kurve aus ihren Krümmungen (“natürliche Gleichungen”). Als Spezialfall behandelt Verf. die Kurventheorie im Weylschen Raum vom Fundamentaltensor \(\bar d_{\mu \nu }=pg_{\mu \nu }\).
In Kap. III wird der Einfluß der Raumkrümmung einer \(V_n\) (\(S_{\lambda \mu }^{\cdot \cdot \nu }=0\)) auf die in ihr liegenden Kurven untersucht. Zur Vereinfachung dient die Einführung lokalgeodätischer Koordinaten. Hervorgehoben sei der Abschnitt über Berührung zweier Kurven, über Lipkas Relativkrümmungen und Verwandtes.
Verwickelter liegen die Verhältnisse für eine Kurventheorie auf einer \(V_m\) in \(V_n\) (Kap. IV). Hier findet der Leser Verallgemeinerungen des Enneperschen Theorems, eine ausführliche Darstellung der Theorie von Asymptotenkurven erster und höherer Ordnung, von Quasiasymptotenkurven erster und höherer Ordnung zahlreichen systematisch entwickelten Ergebnissen. Anschließend behandelt Verf. in einem weiteren Abschnitt V alle mit den infinitesimalen Transformationen vom Typus \[ x^{\prime \nu }=x^\nu +\varepsilon V^\nu \] zusammenhängenden Fragen infinitesimaler Verbiegung von Kurven in Räumen mit metrischem Zusammenhang und Torsion.
Kapitel VI behandelt die Integration der Parallelübertragung längs einer Nullgeodätischen eines vierdimensionalen Weylschen Raumes mit indefiniter Maßbestimmung (Trägheitsindex “1”, Kontinuum der Relativitätstheorie). Dazu bedarf es dreier Quadraturen.
Zum Schluß (Kapitel VII) wird die natürliche Gleichung einer Kurve auf einer \(V_2\) in \(V_3\) aufgestellt (so ist z. B. das Verschwinden der Torsion ein Ausdruck für den Verlauf einer reellen Kurve in einer Ebene, vgl. V. Hlavatý, 1929; F. d. M. \(55_{\text I}\), 412). Die mit größter Sorgfalt am Ende der Untersuchung zusammengestellte Bibliographie umfaßt 80 Abhandlungen, verteilt auf eine etwas geringere Anzahl von Autoren und ein zeitliches Intervall von rund dreißig Jahren.

Citations:

JFM 54.0756.*
Full Text: EuDML