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Sur le platonisme dans les mathématiques. (French) JFM 61.0047.03
Der Aufsatz gibt einen Überblick über den gegenwärtigen Stand der mathematischen Grundlagenforschung. Er stellt die Grundlagenkrise im wesentlichen als Ausdruck eines Gegensatzes zwischen “platonistischen” und intuitionistischen Bestrebungen in der Mathematik dar. Dabei wird unter Platonismus die Tendenz verstanden, “die Gegenstände als losgelöst von jeder Verbindung mit dem denkenden Subjekt zu betrachten”. Als Grundprinzipien des Platonismus in der Mathematik bezeichnet der Verf. 1. das Operieren mit der Gesamtheit der ganzen Zahlen und die damit zusammenhängende unbeschränkte Anwendung des tertium non datur auf Zahlprädikate, und 2. die “quasi-kombinatorische”, d. h. in analogisierender Ausdehnung des finiten Gebrauchs erfolgende Anwendung von Begriffen wie “Menge”, “Folge”, “Funktion” mit Bezug auf die unendliche Gesamtheit aller ganzen Zahlen, und die damit zusammenhängende Zulassung des Auswahlprinzips und der nicht-prädikativen Begriffsbildungen. Von dem hierdurch charakterisierten “eingeschränkten” unterscheidet der Verf. den “absoluten” Platonismus, der die eben genannten Prinzipien “im Sinne eines Begriffsrealismus” interpretiert, “indem er die Existenz einer Welt idealer Gegenstände postuliert, die alle mathematischen Objekte und Relationen enthält”. Der Verf. ist der Ansicht, daß nur dieser absolute, nicht aber der eingeschränkte Platonismus durch die mengentheoretischen Paradoxien erschüttert werde.
Dem Platonismus wird der Intuitionismus gegenübergestellt, der, wie der Verf. auf Grund einer kritischen Analyse des Begriffs der intuitiven Evidenz betont, im Grunde nicht an einer reinen Anschauung (“intuition pure”) orientiert ist, sondern an der Beziehung zum denkenden und handelnden Subjekt, und der insofern in scharfem Gegensatz zum Platonismus steht.
Verf. vertritt nun die Auffassung, daß die Entscheidung zwischen diesen beiden extrem entgegengesetzten methodischen Haltungen nicht eindeutig zugunsten einer von ihnen gefällt werden dürfe, daß vielmehr die Methode je nach dem untersuchten Gegenstande verschieden zu wählen sei: Für den Aufbau der Theorie der ganzen Zahlen empfehle es sich, vom intuitiven Begriff der ganzen Zahl auszugehen, während in der Analysis und Geometrie die dem Platonismus entsprechende Auffassung des Kontinuums bzw. des Raumes als einer gegebenen Gesamtheit als grundlegend anzusehen sei. Freilich müsse bei der Anwendung der platonistischen Betrachtungsweise besonders vorsichtig verfahren werden, damit man nicht durch einen zu weit gehenden Gebrauch der mathematischen Begriffe in die bekannten Widersprüche gerate. Im Zusammenhang mit der hier auftretenden Frage nach einer Methode, die den widerspruchsfreien Gebrauch der mathematischen Begriffe sichere, wird schließlich die Aufgabe der Hilbertschen Beweistheorie gekennzeichnet und auf die durch die Resultate von Gödel und Gentzen erforderlich gemachte Änderung ihrer Fragestellung hingewiesen.

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