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A logical analysis of mathematical structure. (English) JFM 61.0050.01

Monist 45, 118-130 (1935).
Verf. umreißt hier einen wichtigen, bisher vernachlässigten Aufgabenkreis der Beweistheorie. Gewöhnlich begnügt man sich bei der Analyse mathematischer Beweise damit, daß sich das allgemeine Deduktionsverfahren auf zwei oder drei primitive Schlußweisen zurückführen läßt; denn dies ist das für Widerspruchsfreiheits- und ähnliche Untersuchungen Wesentliche. Verf. regt nun an, daneben eine Theorie der mathematischen Beweise aufzustellen, deren Aufgabe es wäre, die systematische Suche nach einem Beweis für einen gegebenen Satz zu erleichtern. Die logische Analyse hätte hier zunächst einmal neben den primitiven auch solche komplizierteren Schlußmethoden herauszuschälen und zu systematisieren, die eine häufige Verwendung finden, sowie die Möglichkeit der Zurückführung eines Satzes auf mehrere einfachere Sätze zu untersuchen. Ferner müßten praktische Anweisungen ausgearbeitet werden, wie man für einen zu beweisenden Satz schrittweise rückwärts gehend eine Beweiskette herstellen kann. Verf. gibt folgende Beispiele solcher Anweisungen: (a) Ist eine Behauptung auf Grund einer bestimmten Voraussetzung zu beweisen und kommt ein Begriff nur in der Voraussetzung und nicht in der Behauptung vor, oder umgekehrt, so eliminiere man ihn auf Grund seiner Definition. (b) Ist eine Gleichung zu beweisen, so unternehme man eine schrittweise Strukturangleichung beider Seiten der Gleichung. (c) Soll eine Behauptung der Form “\(p \supset q\)” bewiesen werden, so suche man unter den schon bekannten Theoremen implikativer Form solche heraus, die das gleiche Implikat \(q\) haben, und versuche darunter eines zu finden, dessen Implikans aus \(p\) folgt.