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Subsumption of the theory of Boolean algebras under the theory of rings. (English) JFM 61.0054.03
Proc. Acad. USA 21, 103-105 (1935).
Als Grundverknüpfungen wählt Verf. die logische Multiplikation \(ab\) und anstatt der logischen Addition \(a + b\) die Operation \[ a\Delta b = a + b - ab = ab' + a'b. \] Dann ist jede Boolesche Algebra ein Ring mit Einselement, in dem alle Elemente idempotent sind (\(aa = a\)). Umgekehrt stellt jeder derartige Ring eine Boolesche Algebra dar. Mit Hilfe von Begriffsbildungen aus der Ringtheorie beweist Verf. einige Sätze aus einer früheren Arbeit (Proc. Acad. USA 20 (1934), 197-202; JFM 60.0108.*). Insbesondere benutzt Verf. Ergebnisse aus der Krullschen Idealtheorie in bewerteten Ringen. Den bewerteten Ringen mit den angegebenen Eigenschaften entspricht der Aussagenkalkül. Auch die Wahrscheinlichkeitsrechnung läßt sich in die Sprache der Ringtheorie übersetzen.
Die Verknüpfung \(a \Delta b\) ist nach Ansicht des Ref. im Grunde die von Boole ursprünglich eingeführte logische Summe (vgl. Boole, The laws of thought (London 1854); p. 33, 55-56), die später von G. S. Peirce und W. S. Jevons zugunsten der heute üblichen Summe \(a + b\) aufgegeben wurde (vgl. Peirce, Collected Papers, Vol. III (1933; F. d. M. 59\(_{\text{II}}\)), p. 36-37). Boole und Peirce waren auch wohl schon die Ringeigenschaften bekannt (vgl. Peirce l.c.; p. 16-18 (insbesondere Theorem V), 23). Der Gedanke, die Boolesche Algebra wahrscheinlichkeitstheoretisch zu deuten, stammt ebenfalls von Boole selbst (vgl. Boole, l. c., Chap. XVI ff.). (III 5 B.)