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Gruppen von linearen Transformationen. (English) JFM 61.0105.03

Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 4, Nr. 2. Berlin: Julius Springer. 91 S. (1935).
Das Buch erfüllt eine doppelte Aufgabe. Zunächst ist es ein Bericht über die to neuerer Zeit erreichten Fortschritte in der Theorie der Transformationsgruppen, außerdem aber eine knapp gehaltene systematische Darstellung dieses Gebietes, gegeben vom Standpunkt der sogenannten modernen Algebra, d. h. vom Standpunkt eines Algebraikers, der auf die Aufdeckung der inneren Zusammenhänge zwischen den Resultaten besonderen Wert legt und deshalb die Theoreme von allen nur von den historisch bedingten Fragestellungen herrührenden, logisch überflüssigen Voraussetzungen befreit. Aus dieser doppelten Zielsetzung ergibt sich der Aufbau des Buches. Die Begriffe werden alle genau definiert und systematisch auseinander entwickelt, die Gedankengänge der wichtigsten Beweise skizziert und es wird abschnittweise über die erzielten Ergebnisse referiert, wobei diese häufig allgemeiner formuliert werden, als dies in den Originalarbeiten möglich war.
I. Lineare Gruppen in beliebigen Körpern. Die linearen Transformationen werden definiert als die zulässigen Homomorphismen eines Vektorraumes \(\mathfrak R\) im Vektorraum \(\mathfrak S\). Dabei ist ein Vektorraum eine abelsche Gruppe mit endlicher Basis, deren Operatoren einen Körper \(K\) bilden. Von § 2 ab wird K als kommutativ vorausgesetzt. Gelegentlich werden auch Verallgemeinerungen (halblineare Transformationen, Dualitäten) benutzt. – § 2. Allgemeine und spezielle lineare Gruppen. – § 3. Projektive Gruppen. – § 4. Komplexgruppen (sonst auch abelsche lineare Gruppen genannt). – § 5. Unitäre Gruppen und zwar für beliebige Körper \(K\), die vom Grade 2 über einem Unterkörper \(P\) liegen. – § 6. Orthogonale Gruppen mit Berücksichtigung des Sonderfalles, daß \(K\) die Charakteristik 2 hat. – In § 7 werden die Isomorphismen der orthogonalen Gruppen in 3 bis 6 Dimensionen unter Verallgemeinerung der von L. E. Dickson für den Fall des Galoisfeldes gegebenen erschöpfenden Diskussion nach einheitlicher Methode für beliebige Körper hergeleitet. – Die folgenden Paragraphen behandeln Substitutiongruppen mit komplexen Zahlenkoeffizienten, speziell abgeschlossene und – mit Rücksicht auf die Behandlung der kontinuierlichen Gruppen in einem anderen Hefte der Sammlung – vorzugsweise diskrete Gruppen. § 8. Reduzible, irreduzible, primitive, imprimitive, monomiale Gruppen. – § 9. Aufstellung der binären, ternären, quaternären projektiven Gruppen. – In § 10 werden besonders die normal-diskontinuierlichen Gruppen nach Myrberg, die diskreten ebenen nichteuklidischen Bewegungsgruppen und die kristallographischen Gruppen behandelt.
II. Darstellungen von Ringen und Gruppen. Der Darstellung einer Halbgruppe (Gruppe, Ring, hyperkomplexes System) \(\mathfrak g\) wird ein Doppelmodul \(\mathfrak M\) mit zweierlei Operatoren zugeordnet, den Elementen von \(\mathfrak g\), die links und den Elementen aus \(K\), die rechts geschrieben werden. Die grundlegenden Sätze der Darstellungstheorie ergeben sich als unmittelbare Anwendungen allgemeiner gruppentheoretischer Sätze. In § 12, 13 und 15 wird die Theorie in organischem Zusammenhang mit E. Noethers Darstellungstheorie der hyperkomplexen Systeme aufgebaut nach denselben Grundgedanken, wie in des Verf. Moderner Algebra (1931: JFM 57.0153.03), Kap. 17. – In § 14 wird die von Neumannsche Theorie der beschränkten Darstellung beliebiger Gruppen \(\mathfrak G\) entwickelt, wobei an die Stelle des Gruppenringes von \(\mathfrak G\) der Ring der auf \(\mathfrak G\) fastperiodischen komplexwertigen Funktionen tritt. – § 16. Zerfallen der irreduziblen Darstellung bei Erweiterung des Grandkörpers. Mit Rücksicht auf M. Deuring [Algebren. Ergebnisse der Math. 4, Nr. 1. Berlin: Julius Springer (1035; JFM 61.0118.01)] werden nur die wichtigsten Resultate ohne Beweise zusammengefaßt ; anschließend wird bewiesen, daß für die Äquivalenz von Darstellungen im Grandkörper ihre Äquivalenz in einem beliebigen Erweiterungskörper hinreicht. – § 17. Faktorensysteme. – § 18. Ganzzahligkeitseigenschaften. Modulare Darstellung. – § 19. Beziehungen zwischen den Darstellungen einer Gruppe und denen ihrer Untergruppen. – § 20. Darstellung spezieller Gruppen. – § 21. Darstellung von Gruppen durch projektive Transformationen. – § 22. Rationale Darstellung der allgemeinen linearen Gruppen. (IV 8.)

MSC:

20-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to group theory