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Idealtheorie. (German) JFM 61.0113.01
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 4, No. 3. Berlin: Julius Springer. VII + 152 S. (1935).
Dieser Bericht gibt einen Überblick über die gesamte moderne Idealtheorie im Kommutativen. Zwei Richtungen sind es, die in der abstrakten Idealtheorie zum Aus druck kommen und die Verf. als “additiv” und “multiplikativ” bezeichnet: die eine ist entstanden aus der Theorie der Polynomideale, die andere aus der Idealtheorie der algebraischen Zahlkörper. Nach dem einführenden § 1 (Grundlagen und Ausgangspunkte) wird zuerst die “additive” Idealtheorie behandelt, die sich mit der Zerlegung der einzelnen Ideale eines Ringes (die Ideale aufgefaßt als additive abelsche Gruppen, die den Ring als multiplikativen Operatorenbereich besitzen) beschäftigt. Einmal wird untersucht, wie weit die üblichen Idealzerlegungsgesetze gültig bleiben, wenn man den zugrundeliegenden Ring möglichst allgemein wählt (§ 2: Abstrakte additive Idealtheorie), dann aber wird die Theorie zweier wichtiger spezieller Ringe (§ 3: Polynomringe. § 4: Einartige Bereiche) mit Hilfe der abstrakten Methoden durchgeführt. § 4 leitet schon über zur “multiplikativen” Idealtheorie. Bei dieser handelt es sich nicht um die einzelnen Ideale, sondern um die multiplikative Gruppe aller \(\mathfrak F\)-Ideale von \(\mathfrak K\), (\(\mathfrak K\) ein Körper, \(\mathfrak F\) ein ganz abgeschlossener Integritätsbereich in \(\mathfrak K\)), mit deren Hilfe man die Teilbarkeitsverhältnisse der Elemente von \(\mathfrak K\) bezüglich \(\mathfrak F\) übersieht. Zur Untersuchung dieser Gruppe zieht man entweder die Bewertungen heran (§ 5: Bewertungstheorie), oder man ändert den Dedekindschen Idealbegriff in geeigneter Weise ab (§ 6: \(V\)-Ideale und \(A\)-Ideale. Verhalten der Primideale bei Ringerweiterungen). -Am Ende dieses Berichtes stehen ein ausführliches Literaturverzeichnis und einige Bemerkungen zur Terminologie, die ihre Bezeichnungen einheitlich – auch bei der multiplikativen Idealtheorie – der Mengen- und Gruppentheorie entnimmt. – Die Beweise sind nicht bis in alle Einzelheiten ausgeführt, aber stets ist der vollständige Gedankengang klar herausgearbeitet.