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Abstract absolute values which give new irreducibility criteria. (English) JFM 61.0117.02

Proc. Acad. USA 21, 472-474 (1935).
Ausgehend von einer Exponentenbewertung \(V\) eines beliebigen Körpers \(K\) werden Exponentenbewertungen des rein-transzendenten Erweiterungsintegritätsbereiches \(K[x]\) konstruiert. Nach Ostrowski (Untersuchungen zur arithmetischen Theorie der Körper. II, III. Math. Z. 39 (1934), 321-404; F. d. M. 60\(_{\text{II}}\)) erhält man eine Bewertung \(V_0\) von \(K[x]\), wenn man \(V_0(x)=\mu \) beliebig festsetzt und dann \[ V_0\,\Bigl(\sum _i a_ix^i\Bigr) = \mathop{\operatorname{Min}}_{\text{\(i\)}} (V(a_i)+i\mu ) \] wählt. Aus dieser Bewertung \(V_0\) konstruiert Verf. induktiv weitere Bewertungen \(V_k\), indem er eine Folge von Polynomen \(\varphi _k\) aus \(K[x]\) wählt, für die
(1)
ein Produkt von Polynomen aus \(K[x]\) dann und nur dann im Restklassenkörper nach \(V_{k-1}\) durch \(\varphi _k\) teilbar ist, wenn dies für einen Faktor der Fall ist,
(2)
kein Polynom \(\neq 0\) aus \(K[x]\) von niedrigerem Grade als \(\varphi _k\) im Restklassenkörper nach \(V_{k-1}\) durch \(\varphi _k\) teilbar ist,
dann \(V_k(\varphi _k) = \mu _k>V_{k-1}(\varphi _k)\) beliebig festsetzt und allgemein \[ V_k\,\Bigl(\sum _i f_i\varphi _k{}^i\Bigr) = \mathop{\operatorname{Min}}_{\text{\(i\)}} (V_{k-1}(f_i)+i\mu _k) \] wählt, wo die \(f_i\) von niedrigerem Grade als \(\varphi _k\) sind.
Verf. stellt fest, daß bei diskreter Ausgangsbewertung \(V\) von \(K\) durch die so konstruierten Bewertungen \(V_k\) und ihre Grenzwerte \( W=\lim _{k\to \infty } V_k\) alle \(V\) fortsetzenden Bewertungen von \(K[x]\) gewonnen werden. Er gibt ferner die Struktur der Restklassenkörper nach den Bewertungen \(V_k\) an und wendet schließlich diese Bewertungen zur Herleitung von Irreduzibilitätskriterien nach der Methode des Newtonschen Polygons an. Die Beweise sollen in einer anschließenden Arbeit ausführlich dargestellt werden.