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Über Matrizenringe auf Riemannschen Flächen und den Riemann-Rochschen Satz. (German) JFM 61.0123.01
Im ersten Teil wird der Riemann-Rochsche Satz für algebraische Funktionenkörper \(K\) (mit dem komplexen Zahlkörper als Konstantenkörper) auf Vektoren von Körperelementen (statt Körperelementen selbst) verallgemeinert. Seien endlich viele Primdivisoren \(\mathfrak P_\alpha \) von \(K\) gegeben, und ferner zu jedem \(\mathfrak P_\alpha \) eine \(r\)-reihig-quadratische nicht-singuläre Matrix \(\theta _\alpha \) aus Elementen der zugehörigen \(\mathfrak P_\alpha \)-adischen Erweiterung von \(K\) (Körper der Potenzreihen in einer Ortsuniformisierenden zu \(\mathfrak P_\alpha \)). Diese Gegebenheiten werden in verallgemeinertem Sinne als “Divisor” \( \mathfrak D=\prod _\alpha \mathfrak P_\alpha ^{\theta _\alpha }\) aufgefaßt; als Ordnung von \(\mathfrak D\) wird die Summe \( n = \sum _\alpha n_\alpha \) der Ordnungen der Determinanten \(|\theta _\alpha |\) betrachtet. Eine \(r\)-gliedrige Spalte \(\mathfrak v\) von Elementen aus \(K\) heißt ein ganzes Multiplum von \(\mathfrak D^{-1}\), wenn die Spalte \(\theta _\alpha\cdot \mathfrak v\) in \(\mathfrak P_\alpha \) durchweg nicht negative Ordnung hat. Entsprechend heißt eine \(r\)-gliedrige Zeile \(d\mathfrak w\) von Differentialen von \(K\) ein ganzes Multiplum von \(\mathfrak D\), wenn die Zeile \(d\mathfrak w\cdot \theta _\alpha ^{-1}\) in \(\mathfrak P_\alpha \) durchweg nicht-negative Ordnung hat. Bezeichnen dann \(N\) und \(N'\) die Anzahlen der linear-unabhängigen \(\mathfrak v\) und \(d\mathfrak w\) dieser Art, so gilt in Analogie zum gewöhnlichen Riemann-Rochschen Satz: \[ N=n-r(p-1)+N', \] wo \(p\) das Geschlecht von \(K\) ist.
Der Beweis erfolgt vom gewöhnlichen Riemann-Rochschen Satz aus mit den Methoden der Elementarteilertheorie.
Im zweiten Teil wird dieser verallgemeinerte Riemann-Rochsche Satz angewendet auf die Untersuchung des Verhaltens der Differentialvektoren (beliebigen Grades \(f\)) von \(K\) bei Automorphismengruppen. Seien (\(\mathfrak G_\lambda \) endlich viele Primdivisoren von \(K\) und \( \prod _\lambda \mathfrak G_\lambda ^{n_\lambda }\) ein aus ihnen gebildeter ganzer Divisor im gewöhnlichen Sinne. Zu den \(2p\) Erzeugenden \(A_i\), \(B_i\) der topologischen Gruppe der Riemannschen Fläche \(\mathfrak R\) von \(K\) werden noch die Umläufe \(C_\lambda \), um die Punkte \(\mathfrak G_\lambda \) hinzugenommen, und zwar mit den Relationen \(C_\lambda ^{n_\lambda }=1\), und natürlich außerdem \(\prod _i\,A_iB_iA_i^{-1}B_i^{-1}\prod _\lambda C_\lambda =1\). Sei \(\mathfrak G\) die so erzeugte Gruppe und \(\mathfrak A\) die zugehörige Überlagerungsfläche von \(\mathfrak R\). Ferner ’sei eine Matrizendarstellung \(\mathfrak M_S\) vom Grade \(r\) (im Körper der komplexen Zahlen) der Elemente \(S\) aus \(\mathfrak G\) gegeben. Aus dem Riemannschen Existenzsatz ergibt sich dann die Existenz einer auf \(\mathfrak A\) eindeutigen analytischen Matrix \(\theta \) mit dem Verhalten \(\theta ^S=\mathfrak M_S\cdot\theta \) bei den Umlaufssubstitutionen \(S\) aus \(\mathfrak G\). Durch Anwendung des verallgemeinerten Riemann-Rochschen Satzes auf die durch diese Matrix \(\theta \) gelieferten lokalen Matrizen in den Punkten \(\mathfrak G_\lambda \) ergibt sich dann eine Formel für die Anzahl \(N\) derjenigen auf \(\mathfrak A\) überall endlichen \(r\)-gliedrigen Spalten \(\mathfrak v\) von Differentialen vom Grade \(f\), die der Bedingung \(\mathfrak b^S=\mathfrak M_S\cdot \mathfrak b\) genügen, nämlich \[ N=r(2f-1)\,(p-1)+ \sum _\lambda \sum _\nu N_{\lambda \nu }\, \Bigl((f-1)\,\Bigl(1-\frac {1}{n_\lambda }\Bigr) + \Bigl\langle\frac {f-1-\nu}{n_\lambda }\Bigr\rangle\Bigr)+N', \] wo \(N'\) die Anzahl der auf \(\mathfrak A\) überall endlichen r-gliedrigen Zeilen \(\mathfrak w\) von Differentialen vom Grade \(1- f\) ist, die der Bedingung \(\mathfrak w^S=\mathfrak w\,\cdot \,\mathfrak M_S^{-1}\) genügen. Dabei bezeichnet \(N_{\lambda\nu }\) die Anzahl derjenigen charakteristischen Wurzeln von \(\mathfrak M_C\), die \(=e^{\frac {2\pi i_\nu }{n_\lambda }}\) sind (\(\nu = 1,\ldots,n_\lambda \)) und \(\langle x\rangle =x- [x]\) den Bruchteil von \(x\).
Insbesondere ergeben sich daraus als Spezialfälle die Resultate einer früheren Mitteilung vom Verf. und Chevalley (Abhandl. Hamburg 10 (1934), 358-361; JFM 60.0098.*).

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