Note on sequences of integers no one of which is divisible by any other. (English) JFM 61.0132.02

Erdös, P.

Journ. London Math. Soc. 10, 126-128 (1935).

(1) \(a_1, a_2, \ldots\) sei eine Folge positiver ganzer Zahlen, von denen keine durch eine andere teilbar ist. Das Verhalten solcher Zahlenfolgen zu untersuchen, wurde von Chowla, Davenport und dem Verf. im Anschluß an Untersuchungen über abundante, insbesondere primitive abundante Zahlen vorgeschlagen. Ref. bewies (vgl. vorstehendes Referat), daß die untere Dichte einer jeden solchen Zahlenfolge 0, die obere \(< \frac{1}{2}\) ist, und gab eine Abschätzung für \(\sum\limits_{a_i \leqq x} \dfrac{1}{a_i}\) an. Verf. beweist: Für jede Folge (1) ist \[ \sum_{1}^{\infty} \frac{1}{a_i \, \log \, a_i} \tag{2} \] konvergent. Dies folgt aus folgendem schärferen Satz: Ist \(p_i\) die größte in \(a_i\) enthaltene Primzahl, so ist \[ \sum_{1}^{\infty} \frac{1}{a_i} \prod\limits_{p \leqq p_i} \left( 1 - \frac{1}{p} \right) \leqq 1. \tag{3} \] Der Beweis von (3) verläuft ganz elementar. Aus (2) folgt mühelos, daß die untere Dichte von (1) 0 sein muß.
Besicovitch (On the density of certain sequences of integers, Math. Ann. 110 (1934), 336-341; F. d. M. 60\(_{\text{II}}\)) gab ein Beispiel dafür an, daß die obere Dichte einer Folge (1) beliebig nahe bei \(\frac{1}{2}\) liegen kann. Sein Beispiel wurde mit Hilfe des folgenden an und für sich interessanten Hilfssatzes konstruiert: Bedeutet \(d_a\) die Dichte aller Zahlen, welche einen Teiler im Intervall \((a, 2a)\) haben, so ist \[ \underset{a \to \infty} {\text{lim inf}} \, d_a = 0. \tag{4} \] Verf. beweist: Es gilt sogar \[ \underset{a \to \infty} {\text{lim}} d_a = 0. \tag{5} \] Der Beweis stützt sich auf einen Satz über die normale Anzahl der Primfaktoren \(< k\) einer ganzen Zahl, der mit Hilfe einer Methode von Turán (Journ. London Math. Soc. 9 (1934), 274-276; F. d. M. 60\(_{\text{I}}\), 145) unschwer zu beweisen ist. Nämlich: Für beliebiges \(\varepsilon > 0\) und \(\delta > 0\) läßt sich \(k(\varepsilon, \delta)\) so angeben, daß für \(x \geqq k > k(\varepsilon, \delta)\) die Anzahl der Zahlen \(\leqq x\), welche mehr als \((1 + \varepsilon) \, \log \, \log \, k\) oder weniger als \((1 - \varepsilon) \, \log \, \log \, k\) Primfaktoren \(< k\) haben, kleiner als \(\delta x\) ist. Der Satz wird hier angewandt für den Fall \(\varepsilon = \frac{1}{3}\), \(\delta = \frac{\eta}{3}\). Die Vielfachen der Zahlen aus dem Intervall \((a, 2a)\) haben die Form \(\nu \cdot y\) \((a \leqq \nu \leqq 2a)\). Man teilt sie in drei Klassen:
1. \(\nu\) hat weniger als \(\frac{2}{3} \, \log \, \log \, a\) Primfaktoren; die Anzahl solcher \(\nu\) ist \(< \frac{1}{3} \eta a\), daher die Anzahl der \(\nu y\) unterhalb \(n: \leqq \sum\limits_{\nu} \dfrac{\eta}{\nu} < \dfrac{n}{a} \cdot \dfrac{1}{3} \eta a = \dfrac{\eta}{3} \cdot n\).
2. \(\nu\) hat mehr als \(\frac{2}{3} \, \log \, \log \, a\) Primfaktoren, aber \(y\) hat weniger als \(\frac{2}{3} \, \log \, \log \, a\) Primfaktoren \(< a\); zu jedem \(\nu\) gibt es höchstens \(\dfrac{\eta}{3} \cdot \dfrac{n}{\nu}\) solche \(y\), d. h. die Anzahl der Zahlen der zweiten Klasse ist \(\leqq \dfrac{\eta}{3} \cdot \sum\limits_{\nu} \dfrac{\eta}{\nu} < \dfrac{\eta}{3} \cdot \dfrac{n}{a} \sum\limits_{\nu} 1 < \dfrac{\eta}{3} n\).
3. \(\nu\) und \(y\) haben jedes mehr als \(\frac{2}{3} \, \log \, \log \, a\) Primfaktoren \(< a\). Dann haben sie zusammen mehr als \(\frac{4}{3} \, \log \, \log \, a\) solche Primfaktoren, und ihre Anzahl ist daher \(< \dfrac{\eta}{3} n\).
Damit ist alles bewiesen. Verf. gibt noch ohne Beweis einen schärferen Satz an, nämlich:
Die Dichte der Zahlen, welche einen Teiler zwischen \(n\) und \(n^{1 + \varepsilon_n}\) haben, strebt mit \(n \to \infty\) gegen 0, wenn nur \(\lim\limits_{n \to \infty} \, \varepsilon_n = 0\) ist.

Reviewer: Behrend, F., Dr. (Prag)

JFM Section:

Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 6. Zahlentheorie im Körper der rationalen Zahlen.