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Über die Pellsche Gleichung \(t^2 - du^2 = -1\). (German) JFM 61.0138.02

Die Frage der Lösbarkeit dieser Pellschen Gleichung wird hier nunmehr für beliebiges \(d=e f^2\) in demselben Umfang entschieden, wie zuletzt (L. Rédei [J. Reine Angew. Math. 171, 131–148 (1934; JFM 60.0125.04)] und A. Scholz [Math. Z. 39, 95–111 (1934; Zbl 0009.29402; JFM 60.0126.03)] für quadratfreies \(d\). Zu diesem Zweck führt Verf. die Gruppe der verallgemeinerten \(d\)-Zerfällungen \((a, b, c)\) mit \(ab=e\) und \(c|f\) ein und verlangt für eine “Zerfällung zweiter Art”, daß \(bc\), \(ac\), \(ab\) quadratische Reste mod \(a\), \(b\), \(c\) sind. Im Falle der Nichtlösbarkeit spielt dabei die Zerlegung der Fundamentaleinheit \[ t+u \sqrt{d} = (xP_2 \sqrt{P_1} + y Q_2 \sqrt{Q_1})^2 \quad \text{mit} \quad P_1 Q_1 = e, \quad P_2 Q_2 = f \] eine Rolle, in der \(Q_1\) quadratischer Rest mod \(P_1 P_2\), \(P_1\) mod \(Q_1 Q_2\) und \(Q_1\) biquadratischer Rest mod \(P_1\), wenn \(x^2 P_1 P_2^2 - y^2 Q_1 Q_2^2 = +1\). Im Falle der Lösbarkeit kommt hingegen die Epsteinsche Hauptdarstellung \(d = A^2 + B^2\) zur Geltung. Die Ergebnisse der diesbezüglichen Epsteinschen Abhandlung [P. Epstein, J. Reine Angew. Math. 171, 243–252 (1934; Zbl 0009.29501; JFM 60.0119.02)] werden großenteils einfacher hergeleitet.
Zu Anfang wird noch gezeigt, daß man sich bei Behandlung der Frage auf den Fall, daß \(f\) eine nicht in \(e\) aufgehende Primzahl ist, beschränken kann. (III 7.)

MSC:

11D09 Quadratic and bilinear Diophantine equations

Keywords:

Pell equation
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Full Text: Crelle EuDML