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Über die Pellsche Gleichung \(t^2 - du^2 = - 1\). (German) JFM 61.0138.02
Die Frage der Lösbarkeit dieser Pellschen Gleichung wird hier nunmehr für beliebiges \(d=e f^2\) in demselben Umfang entschieden, wie zuletzt (Rédei, Journ. f. Math. 171 (1934), 131-148; F. d. M. 60\(_{\text{I}}\), 125. Scholz, Math. Z. 39 (1934), 95-111; F. d. M. 60\(_{\text{I}}\), 126) für quadratfreies \(d\). Zu diesem Zweck führt Verf. die Gruppe der verallgemeinerten \(d\)-Zerfällungen \((a, b, c)\) mit \(ab=e\) und \(c|f\) ein und verlangt für eine “Zerfällung zweiter Art”, daß \(bc\), \(ac\), \(ab\) quadratische Reste mod \(a\), \(b\), \(c\) sind. Im Falle der Nichtlösbarkeit spielt dabei die Zerlegung der Fundamentaleinheit \[ t+u \sqrt{d} = (xP_2 \sqrt{P_1} + y Q_2 \sqrt{Q_1})^2 \quad \text{mit} \quad P_1 Q_1 = e, \quad P_2 Q_2 = f \] eine Rolle, in der \(Q_1\) quadratischer Rest mod \(P_1 P_2\), \(P_1\) mod \(Q_1 Q_2\) und \(Q_1\) biquadratischer Rest mod \(P_1\), wenn \(x^2 P_1 P_2^2 - y^2 Q_1 Q_2^2 = +1\). Im Falle der Lösbarkeit kommt hingegen die Epsteinsche Hauptdarstellung \(d = A^2 + B^2\) zur Geltung. Die Ergebnisse der diesbezüglichen Epsteinschen Abhandlung (Journ. f. Math. 171 (1934), 243-252; F. d. M. 60\(_{\text{I}}\), 119) werden großenteils einfacher hergeleitet. – Zu Anfang wird noch gezeigt, daß man sich bei Behandlung der Frage auf den Fall, daß \(f\) eine nicht in \(e\) aufgehende Primzahl ist, beschränken kann. (III 7.)

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Full Text: Crelle EuDML