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Über die analytische Theorie der quadratischen Formen. (German) JFM 61.0140.01
Die Arbeit knüpft an das allgemeine Hauptergebnis einer früheren Untersuchung des Ref. an (Journ. für Math. 153 (1923), 12-43 (F. d. M. 49, 104), insbes. S. 24): Ist \(S\) eine \(m\)-reihige und \(T\) eine \(n\)-reihige rationdlzahlige symmetrische Matrix, beide ohne Einschränkung regulär und dann \(m \geqq n\), so existiert dann und nur dann eine \((m, n)\)-reihige rationalzahlige Matrix \(X\) mit \(X'SX=T\), wenn für jede Primzahl \(p\) eine derartige Matrix \(X_p\) im Körper der \(p\)-adischen Zahlen existiert und zudem eine derartige Matrix \(X_{\infty}\) im Körper der reellen Zahlen existiert. Daraus folgert Verf. zunächst einleitend einen schärferen Sachverhalt ähnlicher Art bei Hinzunahme von Ganzzahligkeitsforderungen: Man betrachte statt der einzelnen ganzzahligen Matrix \(S\) nicht nur die Klasse der zu \(S\) ganzzahlig äquivalenten Matrizen, sondern gleich das Geschlecht von \(S\), nämlich die Gesamtheit der zu \(S\) für jedes \(p\) ganzzahlig \(p\)-adisch äquivalenten und zudem reell äquivalenten Matrizen. Dann und nur dann ist \(T\) durch eine Matrix des Geschlechts von \(S\) ganzzahlig darstellbar, wenn \(T\) durch \(S\) für jedes \(p\) ganzzahlig \(p\)-adisch darstellbar und zudem reell darstellbar ist.
Verf. stellt sich nun die Aufgabe, diesen qualitativen Sachverhalt quantitativ zu durchdringen. Der vorliegende erste Teil seiner Untersuchung löst diese Aufgabe für positive \(S\) (d. h. solche mit positiv definiter quadratischer Form \(\mathfrak{x}'S\mathfrak{x}\)). In einem zweiten Teil soll die Lösung für indefinite \(S\) folgen und in einem dritten Teil die Verallgemeinerung auf einen algebraischen Zahlkörper statt des rationalen als Koeffizientenkörper.
Das Ergebnis stellt sich in folgender überaus eleganten und durchsichtigen Form dar:
Es bezeichne \(A(S,T)\) die Anzahl der ganzzahligen Darstellungen von \(T\) durch \(S\), ferner \(E(S)=A(S,S)\) die Anzahl der ganzzahligen Darstellungen von \(S\) durch sich selbst (ganzzahlige Transformationen in sich). Schon Eisenstein hat den Ausdruck \[ \frac{1}{E(S)} + \frac{1}{E(S+1)} + \cdots \!, \] wo \(S, S_1, \ldots\) ein volles Repräsentantensystem der im Geschlecht von \(S\) enthaltenen Klassen bezeichnet, als das Maß des Geschlechts von \(S\) eingeführt. Verf. betrachtet den Quotienten \[ \alpha(S,T) = \left( \frac{A(S,T)}{E(S)} + \frac{A(S_1,T)}{E(S_1)} + \cdots \right)\, : \, \left( \frac{1}{E(S)} + \frac{1}{E(S_1)} + \cdots \right) \] als die mittlere Darstellungszahl von \(T\) durch das Geschlecht von \(S\). Dieser mittleren Darstellungszahl im Großen stellt er die folgendermaßen definierten lokalen mittleren Darstellungszahlen an die Seite:
a) Für jede Primzahl \(p\) den Grenzwert \[ \alpha_p(S,T) = \lim_{k \to \infty} \frac{A_{p^k}(S,T)} {p^{k\left( mn-\frac{n(n+1)}{2} \right)}} \quad (\text{für } n=m \text{ noch mit dem Faktor } \tfrac{1}{2}) \] der Lösungszahl \(A_{p^k}(S,T)\) von \(X'SX \equiv T \pmod{p^k}\) durch die wahrscheinliche Lösungszahl \(p^{k\left( mn-\frac{n(n+1)}{2} \right)}\); für hinreichend große \(k\) ist der Quotient sogar konstant; er ist elementar-arithmetisch ausdrückbar.
b) Für die unendliche Primstelle den Grenzwert \[ \alpha_{\infty}(S,T) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{V_{\varepsilon}(S,T)} {\varepsilon^{\frac{n(n+1)}{2}}} = \lim \frac{A_{\varepsilon}(S,T)} { \varepsilon^{ -\left( m_{n-} \frac{n(n+1)}{2} \right) }}, \] wo \(V_{\varepsilon}(S,T)\) das Volumen des Gebiets \(||X'SX-T|| \leqq \dfrac{\varepsilon}{2}\) im \(mn\)-dimensionalen Koordinatenraum von \(X\) ist (die Ungleichung ist für die einzelnen Koordinatenbeträge im \(\dfrac{n(n+1)}{2}\)-dimensionalen Koordinatenraum von \(T\) verstanden); hier ist \(\varepsilon\) das bewertungstheoretische Analogon zu \(p^{-k}\) und \(A_{\varepsilon}(S,T) = \varepsilon^{-mn}V_{\varepsilon}(S,T)\) das Analogon zu \(A_{p^k}(S,T)\).
Der Hauptsatz ist dann die Produktformel: \[ \alpha(S,T) = \prod_{p} \alpha_p (S,T) \cdot \alpha_{\infty}(S,T), \] wo für \(n = m - 1\) und \(n = m > 1\) rechts noch der Faktor \(\frac{1}{2}\) hinzuzufügen ist.
Bemerkung des Ref: Verf. deutet etwas anders als vorstehend; er zieht den Faktor \(\alpha_{\infty}(S,T)\) mit in den Nenner von \(\alpha(S,T)\) links und betrachtet ihn als Analogon zu \(p^{k\left( mn-\frac{n(n+1)}{2} \right)}\); vom bewertungstheoretischen Standpunkt erscheint Ref. die obige Deutung besser.
Spezialfälle. S = T gibt eine Formel für das reziproke Maß des Geschlechts von \(S\), die etwas komplizierter und nicht ganz korrekt von Minkowski ausgesprochen wurde. Sie enthält speziell die Dirichletsche Klassenzahlformel für definite binäre quadratische Formen und die Eisensteinsche Formel für das Maß eines Geschlechts definiter ternärer quadratischer Formen in transzendenter Gestalt.
\(S = E\) mit \(2 \leqq m \leqq 8\) und \(T = t\; (n = 1)\) gibt Aussagen über die Zerlegung einer positiven ganzen Zahl \(t\) in \(2,\ldots \!,8\) Quadrate, aus denen sich die bekannten Sätze darüber von Lagrange, Gauß, Jacobi, Eisenstein, Smith, Minkowski ableiten lassen.
Das Produkt \(\prod\limits_{p}\) kann auch als der Grenzwert \[ \lim_{q \to \infty} \frac{A_{q}(S,T)} {q^{ mn-\frac{n(n+1)}{2}}} \] geschrieben werden, wo \(A_q(S,T)\) die Lösungszahl von \(X'SX \equiv T\) mod \(q\) bezeichnet und \(q\) eine für jedes \(p\) \(p\)-adisch konvergente Folge ganzer Zahlen durchläuft, etwa die Folge der Fakultäten. Dieser Grenzwert ist in den von Hardy nach seiner Potenzreihenmethode behandelten Fällen \((S = E\) mit \(5 \leqq m \leqq 8\), \(n = 1)\) nichts anderes als Hardys singular series, die in diesen Fällen mit den elliptischen Modulfunktionen zusammenhängt. Auf Grund dieses Zusammenhangs konnte Hardy in diesen Fällen seine zunächst nur asymptotischen Formeln für die Lösungszahl als sogar genau gültig erweisen.
Hieran knüpft Verf. nach Abschluß des Beweises seines Hauptresultats ausführlich an. Er findet eine weitgehende Verallgemeinerung des bekannten Zusammenhangs zwischen quadratischen Formen und elliptischen Modulfunktionen in folgender Richtung:
Es sei \(X\) eine \(n\)-reihige komplexzahlige symmetrische Matrix mit positivem Imaginärteil. Dann bilde man die Klasseninvariante von \(S\): \[ f(S,X) = \sum_{C} e^{\pi i \text{Sp}(C'SC \cdot X)}, \] wo \(C\) alle ganzzahligen \((m,n)\)-reihigen Matrizen durchläuft, und daraus die Geschlechtsinvariante von \(S\): \[ F(S,X) = \left( \frac{f(S,X)}{E(S)} + \frac{f(S_1,X)}{E(S_1)} + \cdots \right) \, : \; \left( \frac{1}{E(S)} + \frac{1}{E(S_1)} + \cdots \right). \] Der obige Hauptsatz erweist sich dann als äquivalent mit dem Bestehen der folgenden Partialbruchzerlegung, die als Verallgemeinerung der Eisensteinschen Reihen anzusehen ist: \[ F(S,X) = \sum_{A, B} H(S;A,B)\, |\,AX-B\,|^{-\frac{m}{2}} \qquad (m>2n^2+n+1). \] Dabei sind die Summation über \(A, B\) und die Koeffizienten \(H(S;\,A,B)\) folgendermaßen erklärt:
\(A, B\) durchlaufen ein volles System \(n\)-reihiger ganzzahliger symmetrischer teilerfremder nichtassoziierter Matrizenpaare, wo bedeutet
symmetrisch: \(AB' = B A'\),
teilerfremd: für kein ganzzahliges reguläres \(G\) außer unimodularen sind \(G^{-1} A\), \(G^{-1}B\) beide ganzzahlig,
assoziiert: \(U A, UB\) mit ganzzahligem unimodularem \(U(|U| = \pm 1)\).
Die Repräsentanten der Klassen nicht-assoziierter solcher Matrizenpaare \(A, B\) können immer in der Form \[ \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} U', \quad \begin{pmatrix} B_1 & 0 \\ 0 & E_2 \end{pmatrix} U^{-1} \] mit ganzzahligem eigentlich-unimodularem \(U(|U| = \pm 1)\) und \(|A_1|>0\) angesetzt werden, wo die Reihenzahl der linken oberen Bestandteile der Rang \(r\) von \(A\) ist. Es ist dann \[ H(S;A,B) = i^{\frac{mr}{2}} |S|^{-\frac{r}{2}}\, |A_1|^{-\frac{m}{2}} \sum_{C \, \text{mod.}\, A_1} e^{\pi i \text{Sp}(C'SC \cdot A_1^{-1}B_1)}, \] wo \(C\) ein volles Repräsentantensystem der \((m,r)\)-reihigen Rechtsrestklassen \(C + GA_1\) (\(G\) beliebig \((m, r)\)-reihig ganzzahlig) durchläuft. Diese Koeffizienten \(H(S; A, B)\) stellen eine Verallgemeinerung der Gaußschen Summen dar.
Im Falle \(n = 1\), m gerade, liefern diese Eisensteinschen Reihen bekanntlich Darstellungen der Modulfunktionen des allgemeinen elliptischen Gebildes. Verf. entwickelt nun ganz allgemein einen entsprechenden Zusammenhang; an Stelle des allgemeinen elliptischen Gebildes tritt dabei das allgemeine algebraische Gebilde irgendeines gegebenen Geschlechts \(n\).
Zunächst definiert er rein funktionentheoretisch die Modulfunktionen \(n\)-ten Grades \(f(X)\) als Funktionen einer \(n\)-reinigen komplexzahligen symmetrischen Matrix \(X\) mit positivem Imaginärteil, die bei der in folgender Weise erklärten Modulgruppe invariant sind: \[ X \to (AX + B)\, (CX + D)^{-1}, \] wo \({ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}} = M\) eine \(2n\)-reihige ganzzahlige Matrix ist, die der Symmetriebedingung \[ M'JM = J \quad \text{mit} \quad J = \begin{pmatrix} 0 & E \\ -E & 0 \end{pmatrix} \] genügt; d. h. \(A, B\) und \(C, D\) sind ganzzahlige symmetrische teilerfremde Matrizenpaare im obigem Sinne mit \(AD' - BC' = E\). Er konstruiert einen Fundamentalbereich für diese Modulgruppe, in dem die Determinante des Imaginärteils von \(X\) eine positive untere Schranke hat und gegen Unendlich geht, wenn \(X\) selbst ins Unendliche des Bereichs geht. Von den Modulfunktionen \(f(X)\) verlangt er dann noch als Meromorphiebedingung im Unendlichen, daß sie in der Umgebung des Unendlichen des Fundamentalbereichs als Quotienten von Fourierreihen der folgenden Form darstellbar sind: \[ f(X)= \sum_{T} a(T) \, e^{2 \pi i {\text{Sp}}(TX)}, \] wo \(T\) alle nicht-negativen \(n\)-reihigen symmetrischen Matrizen mit ganzzahliger quadratischer Form \(\mathfrak{x}'T\mathfrak{x}\) durchläuft und \(a(T)\) nur von der Klasse von \(T\) abhängt.
Die Bildungen \[ \varphi_r(X) = \sum_{A, B} |\,AX+B\,|^{-2r} \qquad \left( r > \frac{n(n+1)}{2} \right) \] (Summation über die \(A, B\) wie oben) liefern in der Gestalt \[ f_{rs}(X)= \varphi_r^s(X)\, \varphi_s^{-r}(X) \] solche Modulfunktionen, und zwar lassen sich so \(h=\dfrac{n(n+1)}{2}\) algebraisch-unabhängige \(f_1, \ldots \!, f_h\) bilden. Dann erweist sich jede weitere Modulfunktion von diesen als algebraisch-abhängig, und der Körper aller Modulfunktionen läßt sich durch Hinzunahme einer geeigneten weiteren \(f_0\) als durch \(f_0, \ldots \!, f_h\) mit einer algebraischen Gleichung \(A(f_0, \ldots \!, f_h)=0\) erzeugter algebraischer Funktionenkörper von \(h\) Variablen darstellen.
Für ein algebraisches Gebilde vom Geschlecht \(n\) transformiert sich nun die Periodenmatrix \({ P \choose Q}\) seiner Integrale erster Gattung bei Übergang zu einem anderen kanonischen Schnittsystem in \({ M {P \choose Q}}\) mit einer Modulsubstitution \(n\)-ten Grades \(M\). Setzt man demnach \(X=PQ^{-1}\), so sind die Modulfunktionen \(f(X)\) Invarianten des Gebildes, also eindeutige Funktionen der Moduln des Gebildes; diese Moduln bilden nach Severi für \(n>1\) eine irreduzible algebraische Mannigfaltigkeit \(\mathfrak{M}\) von \(3n-3\) Variablen. Verf. zeigt dann, daß die Funktionen \(f(X)\) auf \(\mathfrak{M}\) meromorph sind (dem Körper der Moduln des Gebildes angehören). Es ergibt sich so:
Damit zu \(X\) als Periodenmatrizenquotient ein algebraisches Gebilde vom Geschlecht \(n\) gehört, ist notwendig und hinreichend, daß zwischen den Erzeugenden \(f_0(X), \ldots \!, f_h(X)\) \(\left( h=\dfrac{n(n+1)}{2}\right)\) des Körpers der Modulfunktionen \(n\)-ten Grades neben der diesen Körper beschreibenden algebraischen Gleichung \(A(f_0, \ldots \!, f_h)=0\) noch \(\dfrac{(n-2)(n-3)}{2}\) weitere unabhängige algebraische Gleichungen bestehen (dadurch wird ja die Zahl der unabhängigen Variablen gerade auf \(3n-3\) eingeschränkt). Dann lassen sich die Moduln des Gebildes rational durch \(f_0(X), \ldots \!, f_h(X)\) ausdrücken und umgekehrt; der Körper der Modulfunktionen geht dann also in den Körper der Moduln über.
Die Bedeutung der zuvor behandelten Theorie der quadratischen Formen in diesem Zusammenhang liegt mm in folgendem: Man kann beweisen, daß die vierten Potenzen der obigen Klasseninvarianten \(f(S,X)\) zur Kongruenzuntergruppe der Stufe \(2|S|\) der Modulgruppe \(n\)-ten Grades gehörige Modulformen \(n\)-ten Grades von der Ordnung \(2m\) sind, und entsprechend für die Geschlechtsinvarianten \(F(S,X)\). Das obige analytische Äquivalent des Hauptsatzes über quadratische Formen ermöglicht nun, für gerades \(m\) die algebraische Abhängigkeit der \(f(S,X)\) und \(F(S,X)\) von den obigen \(\varphi_r(X)\) genauer zu untersuchen. Man erhält so Identitäten zwischen Funktionen verschiedener Herkunft, nämlich zwischen gewissen Thetareihen und anderen durch Eisensteinsche Reihen definierten Modulformen. Verf. sieht darin, mit Hinblick auf die bekannten Schwierigkeiten in der Funktionentheorie mehrerer Variablen, ein wesentliches Moment seiner – man darf sagen tiefgreifenden – Untersuchung. Er hebt zudem hervor, daß hier wieder einmal arithmetische Fragestellungen und Gedankengänge befruchtend in die Funktionentheorie eingreifen – und, man darf sagen, sie ganz entscheidend gefördert haben. (IV 6 C.)

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