On the addition of residue classes. (English) JFM 61.0149.02

Davenport, Harold

J. Lond. Math. Soc. 10, 30-32 (1935).

Verf. gibt einen einfachen Beweis für folgenden Satz: Sei \(p\) eine Primzahl; seien ferner \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_m\) \(m\) verschiedene Restklassen mod \(p\), \(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\) \(n\) verschiedene Restklassen mod \(p\). Mit \(\gamma_1,\gamma_2,\ldots, \gamma_l\) bezeichne man die verschiedenen Restklassen, die sich in der Form \(\alpha_i+\beta_j\) (\(1\leqq i\leqq m, 1\leqq j\leqq n\)) darstellen lassen. Dann ist \[ \begin{alignedat}{2}{2} &l\geqq m+n-1&,\quad &\text{falls } m+n-1\leqq p \\ &l = p &,\quad &\text{falls } m+n-1\geqq p. \end{alignedat} \] Dieser Satz kann als “mod \(p\)-Analogon” einer bekannten Vermutung über die Dichte der Summenfolge zweier Folgen positiver Zahlen angesprochen werden, welche man an ein Resultat von A. Khintchine geknüpft hat [Zur additiven Zahlentheorie, Rec. Math. Moscou 39, No. 3, 27–34 (1932; JFM 58.0159.07; Zbl 0006.15503)].

Reviewer: Behrend, F., Dr. (Prag)

MSC:

11B13

Additive bases, including sumsets

JFM Section:

Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 6. Zahlentheorie im Körper der rationalen Zahlen.

Citations:

JFM 58.0159.07; Zbl 02549430; Zbl 0006.15503