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Über einen Konvergenzsatz des Herrn Knopp. (German) JFM 61.0217.01
Verf. beweist folgenden allgemeinen Satz:
\(s(t)\) sei für beliebiges \(x > 0\) in \(0 \leqq t \leqq x\) von beschränkter Schwankung; \(p(t)\) sei für \(t \geqq 0\) stetig und strebe für \(t \to +\infty\) monoton gegen \(+\infty\); \(d(t)\) sei die Inverse von \(p(t)\). Aus \[ \int\limits_0^x p(t)\, d\{s(t)\} = o\{p(x)\} \quad \text{ für } \quad x \to \infty \] folgt für jedes \(\lambda > 1\) und jedes \(x^\prime\) der Beziehung \(x \leqq x^\prime \leqq d\{\lambda p(x)\}\) \[ s(x^\prime) - s(x) \to 0 \quad \text{ für } \quad x \to \infty \] und umgekehrt.
Durch Spezialisierung dieses Satzes gewinnt Verf. die folgende, von Knopp (Math. Z. 22 (1925), 75-85, F. d. M. 51, 178 (JFM 51.0178.*)) bewiesene Erweiterung der Kroneckerschen Konvergenzbedingung: Für die Konvergenz der Reihe \(\sum\limits_{\nu=0}^\infty a_\nu\) ist notwendig und hinreichend, daß für jede reelle, monoton gegen \(+\infty\) strebende Folge \((p_n)\) \[ \sum\limits_{\nu=0}^n a_\nu p_\nu= o(p_n) \] gilt.
Weiter ergibt sich aus dem oben genannten Satz die Äquivalenz gewisser Konvergenzbedingungen vom \(o\)-Typus, so z. B., daß für das Abelsche Verfahren die Taubersche Bedingung \[ \sum\limits_{\nu=0}^n \nu a_\nu = o(n) \] mit der von R. Schmidt (Math. Z. 22 (1925), 89-152; F. d. M. 51, 182 (JFM 51.0182.*)) gegebenen Bedingung \[ \sum\limits_{\nu=n+1}^{n^\prime} a_\nu \to 0 \quad \text{ falls } \quad n^\prime = O(n) \;\text{ und } \;n \to \infty \] äquivalent ist.

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