Sulle minime maggioranti concave e l’analisi delle funzioni continue. (Italian) JFM 61.0227.01

Ascoli, G.

Ann. Pisa (2) 4, 251-266 (1935).

Jede in \((a, b)\) beschränkte Funktion \(f (x)\) besitzt in \((a, b)\) eine kleinste konkave Majorante \(\bar{f} (x)\), deren Konstruktion angegeben wird; ist dann \(\{ f_n(x)\}\) eine monoton abnehmende Folge nach oben halbstetiger Funktionen und \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) = f (x)\), so ist auch \(\lim\limits_{n\to \infty} \bar f_n(x) = \bar f (x)\). Bildet man aus \(f (x)\) eine (nicht negative) Funktionenfolge durch die Festsetzungen: \(f_1 (x) = \bar{f} (x) - f (x)\) und \(f_{n+1} (x)= \bar{f}_n(x) - f_n (x)\), so ist \(f (x) = \bar{f} (x) + \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \bar{f}_n(x)\), wenn \(\lim\limits_{n\to \infty} f_n(x) = 0\) ist. Notwendig und hinreichend hierfür ist die Stetigkeit von \(f(x)\). Absolute Konvergenz der Reihe erhält man genau dann, wenn \(f (x)\) sich als Differenz zweier konkaver Funktionen darstellen läßt; für derartige, “\(D\)-Funktionen” genannte Funktionen gibt es eine kanonische Zerlegung analog der für Funktionen von beschränkter Variation. Außerdem ist die obige Reihenentwicklung gliedweise rechtsseitig und linksseitig differenzierbar, wenn \(f (x)\) eine \(D\)-Funktion ist, wobei dann auch die Reihe der Ableitungen gleichmäßig konvergiert.

Reviewer: Bögel, K., Dr. (Halberstadt)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. A. Allgemeine Eigenschaften. Klassifikation von Mengen und Funktionen.