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Note on the differentiability of multiple integrals. (English) JFM 61.0255.01

Das Hauptergebnis dieser Arbeit dürfte in den beiden folgenden Sätzen zu suchen sein:
I: Die Funktion \(f (P) = f(x_i)\) sei meßbar im Intervall \(S: 0 \leqq x_i \leqq 1\), \(1 \leqq i \leqq k\). Ist dann \(| f | (\log^+ | f| )^{k-1}\) über \(S\) integrierbar, so ist das unbestimmte Integral von \(f(P)\) fast überall in \(S\) stark differenzierbar zum Werte \(f (P)\). (Vgl. die nachstehend besprochene Arbeit von Salts.)
II: Unter der Voraussetzung von I ist \[ f^*(P) = \text{fin\,sup} \frac{1}{|J|} \int\limits_J |f(Q)|\, dQ, \quad P\subset J, \] für jedes \(0 < \alpha < 1\) zur Klasse \(L^\alpha\) gehörig.
Ist \(f \cdot (\log^+ |f|)^k\) integrierbar, so auch \(f^*\).
Der Beweis beruht auf einer Reihe interessanter Abschätzungen für \(f^*(P)\) und die Funktion \[ f_*(P) = \limsup_{\delta(J) \to 0} \frac{1}{|J|} \int\limits_J |f(Q)|\, dQ, \quad P\subset J, \] die Verallgemeinerungen von Ungleichungen von Hardy-Littlewood für den eindimensionalen Fall sind (Acta math. 54 (1930), 81-116; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 264). Nach einer beachtenswerten Bemerkung über die für die Gültigkeit des Lebesgueschen Differentiations-theorems bei der Definition der Ableitung zuzulassenden Intervalle bringt die Arbeit zum Schluß noch Anwendungen auf Fouriersche Doppelreihen:
Ist \(f \,\log^+ | f |\) integrierbar, so streben die Fejérschen Mittel \(\sigma_{m, n}(x, y)\) fast überall mit \(m\to \infty\), \(n \to \infty\) gegen \(f(x, y)\).
Für schwächere Youngsche Klassen \(L_\varphi\) mit \[ \varphi(0) = 0, \quad \liminf_{t\to\infty} \frac{\varphi(t)}{t\log t} \to 0 \] ist dieser Satz nicht mehr richtig. (IV 3B, D.)

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