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Trigonometrical series. (English) JFM 61.0263.03
Monografie Matematyczne 5. Warszawa: Seminarium Matematyczne Uniwersytetu Warszawskiego; Warszawa: Instytut Matematyczny PAN. 331 p. (1935).
Die Theorie der trigonometrischen Reihen hat in den letzten Jahrzehnten eine nicht nur an weitverzweigtem Umfang der Literatur, sondern auch an Fülle und Tiefe der neu gewonnenen Ergebnisse einzigartige Fortentwicklung erfahren. Man darf vielleicht sagen, daß dieses historisch alte, für die Anwendungen wichtige und in vielfacher befruchtender Wirkung zu zahlreichen anderen mathematischen Disziplinen stehende Gebiet heute als ein Kernstück moderner Analysis in einer gewissen Abrundung vor uns steht.
Es ist ohne Zweifel ein schwieriges Unterfangen, diese stürmische Fortentwicklung in eine adäquate Gesamtdarstellung der Theorie einzufangen. So ist es zu verstehen, daß die moderne mathematische Literatur gerade auf diesem Gebiete so lange Zeit eine schmerzlich empfundene Lücke aufzuweisen hatte.
Nach Lebesgues “Séries trigonométriques” (1906; F. d. M. 37, 281 (JFM 37.0281.*)) wurde erst in den letzten zehn Jahren wieder eine größere Zusammenschau versucht; es seien insbesondere genannt E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable (1926; F. d. M. 52, 237 (JFM 52.0237.*)) und Tonelli, Serie trigonometriche (1928; F. d. M. 54, 298 (JFM 54.0298.*)), sowie der Encyklopädieartikel von Hilb-M. Riesz (1924; F. d. M. 50, 198 (JFM 50.0198.*)) und Plessners Referat in Pascals Repertorium (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 119). So wertvoll diese Darstellungen im einzelnen sind, sie bieten doch nur Ausschnitte und haben die genannte Lücke noch nicht ausgefüllt.
Erst das jetzt vorliegende Buch hat das Desiderat in weitem Maße erfüllt. In der Tat ist es dem Verf., der ja selbst insbesondere von der mengentheoretischen Seite her wertvolle Beiträge zur Theorie der divergenten Fourierreihen geliefert hat, gelungen, seine eigene innige Vertrautheit mit dem Stoff und seine umfassende Literaturkenntnis in eine fast handbuchartige Gesamtdarstellung, die der modernen Entwicklung voll entspricht, umzusetzen. Daß er dabei die Theorie des Fourierintegrals nur in den wesentlichen Grundzügen bringt, ist bei dem schon so zu bewältigenden Stoffumfang nur zu begrüßen. Im übrigen aber gibt es kaum eine der vielen Richtungen, die die Untersuchung über trigonometrische Reihen eingeschlagen hat, die nicht in diesem Buche zu ihrem Rechte kommt. Das ausführliche Literaturverzeichnis am Ende ist dafür ein beredtes Zeugnis. Das Werk ist kein Lehrbuch; es setzt eine moderne analytische Vorbildung, Kenntnis des Lebesgueschen Integralbegriffes und Vertrautheit mit mengentheoretischen Methoden voraus. Die Darstellung ist oft sehr knapp, aber stets scharf und verständlich. Nur auf diese Weise konnte es dem Verf. gelingen, den gewaltigen Stoff in den Rahmen eines Buches einzufangen. Daß eine Reihe oft wichtiger Beispiele und Ergebnisse ohne Beweise nur in den Anhängen zu den einzelnen Kapiteln untergebracht sind, war wohl aus gleichem Grunde kaum zu vermeiden. Eine gewisse subjektive Geschmacksrichtung des Verf., die auf die mehr “abstrakten” Teile der Theorie gerichtet ist, hat dabei sicherlich eine Rolle gespielt. Überhaupt kommen die elementaren Teile und Beispiele etwas kurz weg. Dies ist aber vielleicht kein Nachteil, da es ja hierfür genügend viele gute und leicht lesbare Darstellungen gibt.
Die Gliederung des Buches und der einzelnen Teile in sich ist sehr klar. Der Inhalt der einzelnen Kapitel kann im folgenden nur in großen Umrissen geschildert werden.
Kapitel I (Trigonometrische Reihen und Fouriersche Reihen): Elementare Konvergenzkriterien für trigonometrische Reihen mittels Abelscher Summierung. Fourierreihen in bezug auf ein Orthogonalsystem (Rademachers Funktionen). Bei den trigonometrischen Fourierreihen wird der Lebesguesche Integralbegriff zugrunde gelegt; daneben werden auch Fourier-Stieltjesreihen betrachtet, deren Koeffizienten durch Stieltjesintegrale erklärt sind. Lebesgues Beweis für die ”Vollständigkeit” des trigonometrischen Systems (bei vielen Autoren “Abgeschlossenheit” genannt), Minimumeigenschaft der Abschnitte und Besselsche Ungleichung.
Kapitel II (Fourierkoeffizienten, Konvergenzkriterien): Formale Operationen an Fourierreihen. Abschätzung der Fourierkoeffizienten durch den Stetigkeitsmodul. Riemann-Lebesgues Satz, daß die Fourierkoeffizienten Nullfolgen bilden. Nachweis, daß dieser Satz falsch ist, wenn man das (uneigentliche) Riemannsche Integral zugrunde legt. Die Konvergenzkriterien für die Fourierreihe und ihre konjugierte Reihe (auch bezüglich gleichmäßiger Konvergenz; Dini-Lipschitz, Dirichlet, de la-Vallée Poussin, Lebesgue, Young, Hardy-Littlewood). Vergleich der Kriterien. Riemanns Lokalisationssatz mit Ergänzung von Steinhaus. Divergenz der konjugierten Reihe an Sprungstellen (Pringsheim) und Sprungbestimmung (Lukács). Größenordnung der Abschnitte. Poissonsche Summenformel.
Kapitel III (Summierung Fourierscher Reihen): Toeplitzschex Satz über lineare Mittelbildungen. Die Cesàroschen \((C, \alpha)\)-Verfahren für \(\alpha > -1\). Das Abelsche \(A\)-Verfahren (Poissonsches Verfahren). Fejérs Sätze über die \((C, 1)\)-Mittel, Verschärfung von Lebesgue-Hardy für die \((C, r)\)-Mittel, \(r > 0\). Analoga bei der konjugierten Reihe, Abelsummierbarkeit der Fourierreihe. Abel- und Cesàro-Summierbarkeit der differenzierten Reihe (Fatou-Lebesgue). Konvergenz der Reihen \(\sum\limits_{k=2}^\infty \dfrac{ a_k {\cos\atop\sin} kx \pm b_k {\sin\atop\cos} kx}{\log k}\) (Hardy, Plessner). Cesàro-Summierbarkeit bei Fourier-Stieltjes-Reihen.
Kapitel IV (Funktionenklassen und Fourierreihen): Ungleichungen von Young, Hölder, Minkowski und Jensen. Konvergenz im Mittel, Vollständigkeit (im Hausdorffschen Sinne) des Funktionenraumes der Klasse \(L^r\), \(r \geqq 1\). Der Fischer-Rieszsche Satz. Die “Abgeschlossenheit” des trigonometrischen Systems (Klasse \(L^2\)) (bei vielen Autoren “Vollständigkeit” genannt!). Die Parsevalsche Relation. Kennzeichnung der Fourierreihen und Fourier-Stieltjesreihen, sowie gewisser Unterklassen aus den \((C, 1)\)-Mitteln und den Abelschen Mitteln. Komplementäre Funktionen (Parsevalsche Formeln; Young, Orlicz). Der Satz von Banach-Steinhaus über lineare Funktional-Operationen. Transformationen von Fourierreihen verschiedener Klassen untereinander.
Kapitel V (Eigenschaften einiger spezieller Reihen): Cosinus- und Sinusreihen mit konvexen bzw. monotonen Koeffizientenfolgen. Asymptotisches Verhalten solcher Reihen bei \(x\to 0\). Die Potenzreihen \(\sum\limits_{n=1}^\infty e^{i c n \log n} \dfrac{z^n}{n^{\tfrac 12 +\alpha}}\) (Hardy-Littlewood). Über die Konvergenz der Quadratsumme der Koeffizienten bei “Lückenreihen”. Übertragung auf das Rademachersche System.
Kapitel VI (Die absolute Konvergenz trigonometrischer Reihen): Der Satz von Lusin-Denjoy. Absolute Konvergenz bei Cosinus- und Sinusreihen, deren Koeffizientenbeträge monotone Nullfolgen bilden (Fatou). Symmetrieeigenschaften der Mengen gewöhnlicher und absoluter Konvergenz. Absolute Konvergenz bei Lipschitz-Klassen (Bernstein-Zygmund). Absolute Konvergenz bei Lückenreihen (Szidon). Ein Lokalisationssatz von Wiener.
Kapitel VII (Konjugierte Reihen und komplexe Methoden in der Theorie der Fourierreihen): Cesàro- und Abelsummierbarkeit der konjugierten Reihe, Existenz der konjugierten Funktion. Untersuchungen, wann die konjugierte Reihe eine Fourierreihe ist [M. Riesz (Klasse \(L^p\), \(p > 1\)), Privaloff (Lipschitzklassen)]. Potenzreihen beschränkter Schwankung (Hardy-Littlewood, F. und M. Riesz).
Kapitel VIII (Divergenz Fourierscher Reihen, Gibbssche Erscheinung): Die Fejérsche Methode zur Konstruktion divergenter Fourierreihen stetiger Funktionen (Du Bois-Reymond- und Lebesguesche Singularitäten). Die Schärfe der Kriterien von Dini-Lipschitz. Lebesguesche Konstanten. Kolmogoroffs Beispiel einer überall divergenten Fourierreihe. Die Gibbssche Erscheinung. Abschnittskoppelungen. Die Cramérsche Konstante.
Kapitel IX (Weitere Sätze über Fourierkoeffizienten, Integration gebrochener Ordnung): Die Parsevalsche Relation und der Fischer-Rieszsche Satz bei der Klasse \(L^p\) (Sätze von Hausdorff und Young, Verallgemeinerung von F. Riesz). Die Konvexitätssätze von M. Riesz (Anwendung zum Beweis der obigen Sätze). Ungleichungen von Paley und Kriterien von Hardy-Littlewood in gleicher Richtung, Sätze von Banach über Lückenreihen (Kriterien für Fourierreihen gewisser Klassen). Wieners Kriterium für stetige Funktionen beschränkter Schwankung. Integrale gebrochener Ordnung für Lipschitzklassen und die Klassen \(L^p\) (Hardy-Littlewood).
Kapitel X (Weitere Sätze über Summierbarkeit und Konvergenz von Fourierreihen): Starke Konvergenz im Mittel (Verallgemeinerung von Fejérs Sätzen). Integralungleichungen von Hardy-Littlewood. Der Satz von Kolmogoroff über die Konvergenz von Luckenfolgen der Abschnitte. Konvergenz von \(\sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{a_n \cos\, nx + b_n \sin\, nx} {(\log n)^{\tfrac 1r}}\) für die Klasse \(L^r\), \(1 < r \leqq 2\). Das Kriterium von Hardy-Littlewood für \(C\)-Summierbarkeit.
Kapitel XI (Riemanns Theorie der trigonometrischen Reihen): Der Satz von Cantor-Lebesgue. Das Riemannsche Verfahren. Das Lebesguesche Verfahren (Sätze von Fatou). Die Eindeutigkeitssätze von Cantor, Du Bois-Reymond und de la Vallée-Poussin. Formale Multiplikation trigonometrischer Reihen (Rajchman). Riemanns Lokalisationsprinzip. Der Satz von Fatou über Potenzreihen, deren Koeffizienten Nullfolgen bilden. Feinere Untersuchungen über Eindeutigkeits- und Vielfachheitsmengen (Rajchman, Zygmund).
Kapitel XII (Fourierintegrale): Fouriers einfaches Integral und Doppelintegral. Kriterien für Konvergenz und Summierbarkeit. Die Sätze von Plancherel über Fouriertransformierte.
Besprechung: K. Borsuk, Wiadom. mat. 41, 127-137; L. Tonelli, Periodico di Mat. (4) 15, 193-194. (IV 7 B, C.)

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