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Sul problema dell’ approssimazione delle funzioni. (Italian) JFM 61.0295.03
Das folgende vom Verf. abgeleitete Theorem möge den Inhalt der Arbeit kennzeichnen:
\(D\) sei ein offener beschränkter Bereich der \((x,y)\)-Ebene. \(D'\) sei ferner ein anderer offener beschränkter Bereich, der die abgeschlossene Hülle \(\overline D\) von \(D\) enthalten möge. Die Funktion \(f (x, y, z, p, q)\) sei endlich und stetig in allen Punkten der abgeschlossenen Hülle \(\overline D'\) von \(D'\) und für alle endlichen Werte von \(z\), \(p\) und \(q\). Weiter sei \(z_0 (x, y)\) eine in \(D'\) absolut stetige Funktion, die in \(\overline D'\) überall stetig sei, und für die das Integral \[ I_{D'},[z_0]=\iint\limits_{D'}f(x, y, z_0(x, y),p_0(x, y), q_0(x, y))dx dy \] \(\left(\text{mit} \;p_0=\dfrac{\partial z_0}{\partial x} \;\text{und} \;q_0=\dfrac{\partial z_0}{\partial y}\right)\) existieren möge.
Außerdem nehme man an, daß man
(1) eine Funktion \(\varPhi(x, y, xy, z, p, q)\) bestimmen kann, die stetig und nach Jensen konvex ist in folgendem Bereich der sechs Größen \(x\), \(y\), \(xy\), \(z\), \(p\) und \(q\):
\(x\), \(y\) sei ein beliebiger Punkt des Bereichs \(\overline D'\); \(z\) genüge den Ungleichungen \(m'\leqq z\leqq M'\), wobei \(m'\) und \(M'\) das Minimum und Maximum von \(z_0(x, y)\) in \(\overline D'\) sind; \(p\) und \(q\) seien beliebige endliche Zahlen,
(2) vier Zahlen \(\varLambda_1>0\), \(\varLambda_2>0\), \(\varLambda_1'>0\) und \(\varLambda_2' > 0\) finden kann, so daß \[ \varLambda_1'|\varPhi(x,y,xy,z,p,q)|+\varLambda_2'\leqq f(x, y, z, p, q) \leqq\varLambda_1|\varPhi(x, y, xy, z, p, q)|+\varLambda_2, \] für den in (1) genannten Bereich der sechs Größen \(x\), \(y\), \(xy\), \(z\), \(p\) und \(q\) gilt.
Unter diesen Voraussetzungen ist es möglich, eine Folge von Funktionen \(z_n(x, y)\), \(n=1,2,\ldots,\) zu bestimmen, die samt ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung überall in einem offenen und beschränkten Bereich \(D_1\), der \(\overline D\) enthält und mitsamt seiner abgeschlossenen Hülle in \(D'\) enthalten ist, endlich und stetig sind, so daß für \(n\to\infty\) \[ z_n(x,y)\to z_0(x,y) \] gleichmäßig in \(\overline D\) gilt und außerdem \[ I_D(z_n)\to I_D(z_0) \] geht.
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Full Text: EuDML