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Zwei Sätze über Differential- und Differenzenquotient von analytischen Funktionen. (German) JFM 61.0305.03
In einem schlichten Bereich \(B\) der \(z\)-Ebene sei eine Familie \(\mathfrak F\) von regulären analytischen eindeutigen Funktionen erklärt. Es sei für jede der Funktionen \(f(a)= a\), \(f(b) = b\); dabei sind \(a\) und \(b\) zwei verschiedene Punkte aus \(B\). \(\mathfrak C\) sei die Gesamtheit aller \(a\) mit \(b\) in \(B\) verbindenden Kurven \(C\). Es sei \[ A_B(a,b,\mathfrak F)= \operatornamewithlimits{unt. Gr.}\limits_{C\in\mathfrak C, f\in\mathfrak F} \left(\operatornamewithlimits{Max}\limits_{z\subset C}|f'(z)|\right). \] Ist \(\mathfrak F\) die Familie aller in \(B\) regulären eindeutigen Funktionen, so ist \(A_B = 0\). Ist \(\mathfrak F\) eine in \(B\) normale Familie, so ist \(A_B > 0\).
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