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On the directions of Borel and analytic functions. (English) JFM 61.0339.02

Sei \(f(z)\) eine ganze Funktion der präzisierten Ordnung \(\varrho(r)\), \(\varrho(r)\to\varrho\neq 0\), \(\infty\). Die Verf. zeigt, daß eine relativ zu \(R^{\varrho(R_m)}_m\) geringe Anzahl von Nullstellen in einer Folge von Kreisen \(|z-Z_m|<\lambda|Z_m|=\lambda R_m\), \(R_m\to\infty\), auch eine Beschränkung der Variation von \(|f(z)|\) in diesen Kreisen zur Folge hat, und gibt in diesem Zusammenhang eine Bedingung an, wann diese Kreise cercles de remplissage sind. Hiermit beweist sie folgenden Satz: Bedeutet \(h(\theta)\) den Wachstumsindikator, \(n(r)\) die Anzahlfunktion der Nullstellen von \(f(z)\), und ist \[ \lim_{r\to\infty}\frac{n(r)}{\varrho\cdot V(r)}=\frac1{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{+\pi} h(\theta)\,d\theta=H, \quad V(r)=r^{\varrho(r)}, \] so sind alle Richtungen \(\arg z=\alpha\), und nur diese, Borelsche Richtungen der Ordnung \(\varrho(r)\), für die entweder \(h(\alpha)>0\) und \(h(\theta)\) kein Sinusoid (\(\not\equiv A\cos\varrho\theta+B\sin\varrho\theta\)) in der Umgebung von \(\theta=\alpha\), oder \(h(\alpha)=0\) und \(h(\theta)>0\) für \(\theta<\alpha\), oder \(\theta>\alpha\) ist.
Für \(n(r)<(H-\delta)\varrho V(r)\), \(\delta>0\) gilt die Behauptung nicht mehr.
Die Verf. zeigt auch, daß eine viel schärfere Fassung des Begriffs Borelsche Richtung der Ordnung \(\varrho(r)\) mit der gewöhnlichen Definition identisch ist, wonach dann alle Sätze in der schärferen Fassung noch ihre Gültigkeit haben.
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