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Un teorema su alcune funzioni analitiche, relative ai campi piani pluriconnessi, usate nella teoria della rappresentazione conforme. (Italian) JFM 61.0364.02
Für in Aussicht genommene und am Schluß der Arbeit angedeutete Anwendungen auf die Frage der Abbildbarkeit zweier mehrfach zusammenhängender Bereiche aufeinander beweist Verf. den Satz :
Es seien \(A\) und \(A'\) zwei beschränkte, \((p + 1)\)-fach zusammenhängende Bereiche derselben Ebene. Ihre äußeren Randkomponenten \(L_0 = L_0'\) sollen zusammenfallen; jeder Randkomponente \(L_{\nu}\) \((\nu=1,\ldots,p)\) von \(A\) sei eine solche \(L_{\nu}'\) von \(A\) so zugeordnet, daß \(L_{\nu}\) \(L_{\nu}'\) umschlingt oder umgekehrt (wobei beide auch Punkte gemeinsam haben dürfen); sonst sei jedes \(L_{\nu}\) zu jedem \(L_{\nu}'\) punktfremd. Es sollen ferner zwei Funktionen \(\Phi\) und \(\Phi'\) in \(A\) bzw. \(A'\) existieren, für die auf den Komponenten \(L_{\nu}\) und \(L_{\nu}'\) gilt \[ \mathfrak J (\Phi)_{L_{\nu}}=\mathfrak J(\Phi')_{L_{\nu}'}=c-{\nu}=\text{const} \qquad (\nu=0,\ldots,p), \] wobei die \(c_{\nu}\) nur zwei verschiedene Werte annehmen sollen; ferner sollen die Perioden der beiden Funktionen beim Umlauf um entsprechende Randkomponenten übereinstimmen. Dann fallen die Bereiche \(A\) und \(A'\) zusammen.
Der Satz wird auf folgenden Hilfssatz zurückgeführt, für den ein sorgfältig ausgeführter Beweis gegeben wird:
Ist \(w (z)\) eine in einem mehrfach zusammenhängenden Bereich der oben geschilderten Art eindeutige, im Innern und, endlich viele Punkte ausgenommen, in denen nur Stetigkeit gefordert ist, auch auf dem Rande reguläre Funktion, die auf mindestens einer Randkomponente nur reelle Werte besitzt, und deren Imaginärteil auf keiner Randkomponente das Vorzeichen wechselt, so ist \(w (z)\) eine reelle Konstante.
Man setze, um obigen Satz zu erhalten, \(w (z) =\Phi(z)-\Phi'(z)\) im Durchschnitt von \(A\) und \(A'\).
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Full Text: EuDML