×

zbMATH — the first resource for mathematics

Zur Theorie der Überlagerungsflächen. (German) JFM 61.0365.03
Diese für die gesamte Theorie der meromorphen Funktionen grundlegende Arbeit -die an erster Stelle genannte gibt einen Vortrag über denselben Gegenstand wieder -sucht ihre wichtigsten Ergebnisse auf geometrischem Wege zu gewinnen. Ganz besonders wird der schon in früheren Arbeiten festgestellte Zusammenhang zwischen dem Nevanlinnaschen, zweiten Fundamentalsatz und der im Sinne von Hurwitz verallgemeinerten Charakteristik einer berandeten Überlagerungsfläche, z. B. einer Riemannschen Fläche, aufgeklärt und metrisch-topologisch begründet. Das wichtigste Ergebnis des Verf. ist das folgende:
Eine endliche Fläche sei über einer geschlossenen Grundfläche \(W_0\) vom Geschlechte 0 (z. B. einer Kugel) als Überlagerungsfläche ausgebreitet. \(S\) bedeute die mittlere Blätteranzahl, die über einem bestimmten Gebiete \(G_0\) ausgebreitet ist (Inhalt \(I\) des dem Grundgebiete überlagerten Gebietes, dividiert durch den Inhalt von \(G_0\)) und \(L\) die Länge seines relativen Randes. Betrachtet man irgend ein einfach zusammenhängendes Gebiet \(\Delta\) von \(G_0\), so enthält die Überlagerungsfläche eventuell relativ unberandete Teile in bezug auf \(\Delta\), die dann als Inseln bezeichnet werden. Das Minimum der Blätteranzahl aller dieser Inseln (die Blätteranzahl für jede einzelne Insel berechnet) werde mit \(\mu\) bezeichnet. Im Falle, daß \(\Delta\) nicht einfach zusammenhängend ist, kann für \(\mu\) eine beliebige positive ganze Zahl eingesetzt werden. Betrachtet man dann \(q\) solche Gebiete, so muß die Ungleichung gelten \[ \left(q-2-\sum_1^q \dfrac{1}{\mu_i}\right)S\leqq kL, \] wobei \(k\) eine Konstante bedeutet, die nur von der Konfiguration in der Grundfläche abhängig ist.
Die Wichtigkeit dieses Satzes für die Funktionentheorie ergibt sich durch seine Anwendung auf regulär-ausschöpfbare unendliche Überlagerungsflächen. Eine solche heißt regulär-ausschöpfbar, wenn sie durch eine Folge von endlichen Flächen erzeugt werden kann, so daß das Verhältnis zwischen der Länge des relativen Randes und der mittleren Blätteranzahl der Flächen dieser Folge gegen 0 strebt. Der Verf. beweist unter anderem, daß alle Flächen vom Grenzpunkttypus regulär ausschöpfbar sind, und gibt Beiträge zum Typenproblem, betreffend Riemannsche Flächen. Für regulär-ausschöpfbare Flächen ergibt sich demnach die Ungleichung \[ q-2-\sum_1^q \dfrac{1}{\mu_i}\leqq0, \] die alle bisher bekannten Sätze enthält, die aus den innern Eigenschaften der Riemannschen Fläche auf die Unmöglichkeit ihrer konformen Abbildung auf die ganze Ebene schließen lassen. Insbesondere muß also eine meromorphe Funktion sämtliche Funktionswerte bis auf zwei annehmen, oder, wenn fünf außerhalb einander liegende einfach zusammenhängende Gebiete gegeben sind, so enthält die Riemannsche Fläche einer meromorphen Funktion sicher eine einblättrige Insel, die über einem dieser Gebiete liegt.
Verf. ergänzt und präzisiert die Wertverteilungstheorie mit Hilfe der charakteristischen Funktion \(S (r)\) noch in andern wichtigen Punkten. (IV 4 F, V 2.)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] Wir verweisen den Leser auf die Darstellung beiKerékjártó:Vorl. über Topologie, S. 131–163.
[2] Wir machen darauf aufmerksam, dass wir in der ganzen Arbeit mitk oderk’ eine konstante Grösse bezeichnen, aber nicht notwendig immer dieselbe.
[3] Die linksstehenden Summen werden über sämtliche\(\Omega\)’ begrenzende \(\sigma\)’ bzw. \(\sigma\)” erstreckt.
[4] Die Gebiete der ersten Art könnten zweckmässig als “Binnenseen” bezeichnet werden.
[5] \(\bar W_0 \) ist das Komplementärgebiet der Gebiete\(\Delta\) v.
[6] Um diesen bekannten Prozess genau zu erklären müsste man eigentlich den Begriff destopologischen Baums einführen. Wir verweisen den Lessr auf die eingehende Behandlung dieser Frage in der neulich erschienenen ArbeitG. Elfving:Über eine Klasse von Riemannschen Flächen und ihre Uniformisierung (Acta Soc. Scient. Fenn., Nov. Ser. A. t II No. 3.).
[7] Im Falle einer konformen Abbildung erhält man die Ungleichung \(\frac{{dr}}{r} \leqq 2\pi \frac{{dI(r)}}{{L(r)^2 }},\) dessen Beweis sich noch einfacher als der obige gestaltet.
[8] UmWr als Überlagerungsfläche der Kugel zu erkennen, müssen wir eine Dreiecksteilung der beiden Flächen angeben, bei welcher jedem Dreieck aufWr ein bestimmtes Spurdreieck entspricht. Wir ziehen auf der Kugel die Bildkurve des Kreises |z|=r. Diese Kurve zerlegt die Kugel in endlich viele Gebiete; wenn man diese Gebiete in Dreiecke teilt und dafür sorgt, dass die für |z|<r mehrfach angenommenen Werte unter den Eckpunkten vorkommen, so erhält man eine Dreiecksteilung der verlangten Art.
[9] Die Bezeichnung “Scheibensatz” verdanke ich HerrnE. Ullrich.
[10] Sur les domaines dans lesquels une fonction méromorphe prend des valeurs appartenant à une région donnée, Acta Soc. Scient. Fenn. Nov. Ser. A, t. II, No. 2, Helsingfors (1933). · JFM 59.1033.02
[11] Füra=f (o) wird diese Definition in bekannter Weise abgeändert.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.