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Sur les groupes de transformations analytiques. (French) JFM 61.0370.02
(Exposés mathématiques IX.) Actual. scient. et industr. 1935, Nr. 198, 53 p (1935).
Verf. beweist: 1. Jeder kontinuierliche Gruppenkeim \(G\) pseudokonformer Transformationen ist ein Liescher Gruppenkeim. 2. Die Gruppe der eineindeutigen pseudokonformen Transformationen eines Gebietes des komplexen \(R_n\) ist im Kleinen eine Liesche Gruppe von höchstens \(n (n + 2)\) Parametern.
Der Beweis von 1 erfolgt so : In \(G\) gibt es zu jeder Folge \(f_n\) von Transformationen, die gegen die Identität konvergieren, eine Teilfolge \(f_{n'}\) und eine Folge natürlicher Zahlen \(m_n,\) so daß \[ m_{n'}(f_{n'}(x) - x) \] gleichmäßig konvergiert und der Limes \(\varphi (x)\) nicht identisch verschwindet (es sei denn, daß fast alle \(f_{n'}\) identisch gleich \(x\) sind). Das folgt aus einem in Compositio math. 1 (1934), 223-227 (F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 278) bewiesenen Satz des Verf. Weiter zeigt man, daß der von der infinitesimalen Transformation \(\varphi(x)\) erzeugte einparametrige Untergruppenkeim zu \(G\) gehört, und daß mit zwei infinitesimalen Transformation auch ihr Klammerausdruck zu \(G\) gehört. Daraus folgt der Satz.
Satz 2 folgt aus l unter Berücksichtigung eines Satzes des Verf. (Journ. de Math. (9) 10 (1931), 1-114 (F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 387), insbes. p. 62-64). (IV 8.)