Sur les domaines bornés homogènes de l’espace des \(n\) variables complexes. (French) JFM 61.0370.03

Cartan, E.

Abhandl. Hamburg 11, 116-162 (1935).

Diese Arbeit ist eine Anwendung der schönen Betrachtungen des Verf. (Bull. Soc. math. France 54 (1926), 214-264; 55 (1927), 111-134. F. d. M. 53, 390 (JFM 53.0390.*)) auf die Theorie der Abbildungen mit Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen; im allgemeinen werden jene Ergebnisse hier jedoch von neuem entwickelt.
Verf. macht einen Schritt in der Richtung zur Aufstellung aller beschränkten Bereiche in \(n\) komplexen Dimensionen, die eine transitive Gruppe pseudokonformer Transformationen gestatten. Er löst das Problem völlig für die sogenannten symmetrischen Bereiche, das sind Bereiche, für die es zu jedem Punkt eine pseudokonforme Involution mit diesem Punkt als Fixpunkt gibt. Die Gruppe solcher Bereiche besitzt nämlich eine eigentümliche spezielle Gestalt, dieselbe, die bei den zitierten Untersuchungen des Verf. bereits aufgetreten ist. Das ermöglicht die Aufstellung all dieser Gruppen und der zugehörigen Bereiche.
Weiter zeigt Verf., daß in zwei Dimensionen alle beschränkten Bereiche mit transitiver Gruppe symmetrisch sind; hier ist das Problem also ganz gelöst. Das ergibt sich aus der Tatsache, daß die Gruppen von der Ordnung 4 oder 5 sein müssen, und aus der Untersuchung der einzelnen (bekannten) Typen.
Für drei Dimensionen erwähnt Verf. ohne Beweis denselben Satz; außer den bekannten Bereichen tritt noch der Bereich in Erscheinung: \[ z_2>\sqrt{x_2^2+y_2^2}\qquad(x=x_1+ix_2,\;y=y_1+iy_2,\;z=z_1+iz_2). \] (IV 8.)

Reviewer: Freudenthal, H., Dr. (Amsterdam)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 5. Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen.

Citations:

JFM 53.0390.*