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L’intégrale de Cauchy et les fonctions de plusieurs variables. (French) JFM 61.0371.03

Verf. gibt eine Verallgemeinerung der Cauchyschen Integralformel im Raume von \(n\) komplexen Veränderlichen für “Polyederbereiche” an. Der Beweis wird in der vorliegenden Arbeit lediglich für zwei Veränderliche durchgeführt. (Doch geschieht dies nur zur Vereinfachung des Ausdruckes.)
Die Polyederbereiche werden im zweidimensionalen Raume folgendermaßen erklärt. Zunächst wird ein Bereich \(\mathfrak D\) im \((w, z)\)-Raume vorgegeben. \(X_k(w, z)\;(k= 1,2,\dots, N)\) seien analytisch in \(\mathfrak D\); \(\varDelta_k\) seien jeweils Bereiche in der Ebene der abhängigen Veränderlichen \(X_k.\) Ein durch die Bedingungen \[ X_k(w,z)\in\varDelta_k\qquad (k =1,2,\dots, N) \] bestimmter ganz in \(\mathfrak D\) liegender Bereich heißt ein Polyederbereich \(\mathfrak P\). Die Gesamtheit der Randpunkte von \(\mathfrak P\), für die \(X_{k_0}(w, z)\) auf dem Rande von \(\varDelta_{k_0}\) liegt, heißt der Mantel (“face”) \(S_{k_0}\) von \(\mathfrak P\). Der Durchschnitt von \(S_k\) und \(S_l\) (\(l \neq k\)) heißt die Bestimmungsfläche (“arête”) \(\sigma_{kl}\). Es wird vorausgesetzt, daß alle \(\sigma_{kl}\) nur zweidimensionale Mannigfaltigkeiten enthalten. (Das ist unter anderem sichergestellt, wenn die \(X_k\) jeweils paarweise unabhängig voneinander sind.) Schließlich wird noch vorausgesetzt, daß es zu jeder der Funktionen \(X_k(w,z)\) zwei Funktionen \(P_k(w,z;\zeta,\eta)\) und \(Q_k(w,z;\zeta,\eta)\) gibt, die analytisch für \((w, z)\) und \((\zeta,\eta)\) aus \(\mathfrak D\) sind, und für die identisch gilt \[ X_k(w,z)-X_k(\zeta,\eta)=(w-\zeta)P_k+(z-\eta)Q_k. \] Es bedeute \[ \varphi_{kl}(w,z;\zeta,\eta)=\frac{P_kQ_l-P_lQ_k} {[X_k(w,z)-X_k(\zeta,\eta)][X_l(w,z)-X_l(\zeta,\eta)]}. \] Dann gilt unter den obigen Voraussetzungen für jede in \(\mathfrak P\) analytische Funktion \(f(w,z)\) \[ f(w,z)=\frac1{2\pi i}\sum_{(k,l)}\int\limits_{\sigma_{kl}} f(\zeta,\eta)\varphi_{kl}(\zeta,\eta;w,z)\,d\zeta\,d\eta, \] falls \((w, z)\) in \(\mathfrak P\) liegt. Liegt \((w, z)\) außerhalb \(\mathfrak P\), so ist der Ausdruck rechts identisch Null.
Die Voraussetzungen dieses Satzes sind insbesondere erfüllt, wenn \(\mathfrak P\) ein Polynombereich \(|P_k(w,z)|<1\) (\(k = 1,\dots, N\); \(P_k(w, z)\) Polynom in \(w\) und \(z\)) ist. In diesem Falle läßt sich durch Entwicklung der Faktoren \[ \frac1{X_k(\zeta,\eta)- X_k(w, z)} \] \(f(w, z)\) in eine im Innern von \(\mathfrak P\) gleichmäßig konvergente Reihe entwickeln.
Jeder Bereich im \((w, z)\)-Raum, der polynom-konvex ist (s. den Bericht von Behnke-Thullen (Ergebnisse d. Math. 3, Nr. 3; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 274), Kap. VI) läßt sich von innen durch Polynombereiche approximieren. Daraus ergibt sich, daß in jedem polynom-konvexen Bereich sich die dort regulären Funktionen nach Polynomen entwickeln lassen (sogenannte Rungesche Bereiche). Nun ist früher schon nachgewiesen worden, daß alle Rungeschen Bereiche polynom-konvex sind (siehe Carian-Thullen, Math. Ann. 106 (1932), 617-647; F. d. M. 58). Also folgt jetzt, daß die Polynom-Konvexität notwendig und zugleich hinreichend für die Rungeschen Bereiche ist.

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References:

[1] B. L. van der Waerden,Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden Geometrie, Anhang I (Triangulierbarkeit der algebraischen Gebilde), Math. Annalen102 (1930), S. 360. Cf. aussi B. O. Koopman and A. B. Brown,On the Covering of Analytic Loci by Complexes, Trans. Amer. Math. Soc.34 (1932), p. 231.
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