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Über die wesentlichen Singularitäten analytischer Funktionen und Flächen im Raume von \(n\) komplexen Veränderlichen. (German) JFM 61.0374.02

Nach dem Kontinuitätssatz erfüllen die wesentlichen Singularitäten einer analytischen Funktion \(f(z_1,z_2,\dots,z_n)\;(2n- 2)\)-dimensionale analytische Mannigfaltigkeiten. An die Stelle der isolierten wesentlichen Singularitäten der klassischen Theorie treten hier somit solche irreduzible analytische Flächenstücke. \(\mathfrak M\) sei ein derartiges Flächenstück, das in einem Bereich \(\mathfrak B\) des \(R_{2n}\) liegt, und die sonst in \(\mathfrak B\) überall reguläre Funktion \(f(z_1,\dots, z_n)\) auf \(\mathfrak M\) wesentlich singular, so ist nach dem Picardschen Satze der klassischen Theorie klar, daß \(f\) in jeder Umgebung eines jeden Punktes von \(\mathfrak M\) jeden Wert mit höchstens einer Ausnahme annimmt. Über die Verteilung dieser Ausnahmewerte war aber bisher nichts bekannt. Diese Frage wird hier endgültig beantwortet durch den grundlegenden Satz: Unter den angegebenen Voraussetzungen häufen sich die Punkte der analytischen Fläche \(f(z_1,\dots, z_n) = a\) für jedes beliebige komplexe \(a\) mit höchstens einer Ausnahme gegen jeden Punkt von \(\mathfrak M\). Ist \(a_0\) der Ausnahmewert, so nimmt \(f\) entweder den Wert \(a_0\) in \(\mathfrak B\) überhaupt nicht an, oder die Fläche \(f = a_0\) verhält sich in \(\mathfrak B\) ausnahmslos algebraisch. Sie hat dann mit \(\mathfrak M\) entweder keinen Punkt oder ein \((2n -4)\)-dimensionales, auf \(\mathfrak M\) algebraisches Gebilde gemeinsam. In der Umgebung dieser Schnittpunkte gibt es dann gar keinen Ausnahmewert.
Das Ergebnis folgt fast unmittelbar aus einem fundamentalen Satz über analytische Flächen: Verhält sich das in \(\mathfrak B\) liegende analytische Flächenstück \(\mathfrak F\) in \(\mathfrak B\) algebraisch bis auf die Punkte eines irreduziblen analytischen Flächenstückes \(\mathfrak M\), so ist entweder \(\mathfrak F\) in ganz \(\mathfrak B\) algebraisch oder hat jeden Punkt von \(\mathfrak M\) als wesentlich singulären Punkt.
Die wichtigsten Hilfsmittel beim Beweis dieses Satzes, der zunächst für zwei Veränderliche durchgeführt wird, sind neben dem Vorbereitungssatz der Cousinsche Satz über Funktionen zu vorgegebenen Nullstellenmannigfaltigkeiten und ein Satz über die Regularitätshülle eines uneigentlichen Reinhardtschen Körpers. Durch vollständige Induktion wird der Beweis auf \(n\) Veränderliche erweitert.
Angewandt auf den Spezialfall der “ganzen Flächen”, d. h. der Nullstellengebilde einer ganzen Funktion \(f(z_1,\dots,z_n)\) oder – was nach dem Cousinschen Satz dasselbe ist – der im endlichen überall algebraischen Flächen, ergibt sich, daß diese entweder algebraisch schlechthin, d. h. durch ein Polynom \(P (z_1,\dots, z_n) = 0\) gegeben sind, oder (bei komplex-projektivem Abschluß des Raumes) jeden Punkt der unendlich fernen Ebene als wesentliche Singularität haben. (Für diesen Satz wird noch ein einfacher direkter Beweis angegeben.)
Aus dem Satz über die analytischen Flächenstücke folgt unmittelbar eine Erweiterung eines Satzes von Radó aus der klassischen Theorie (Radó, Math. Z. 20 (1924), 1-6; F. d. M. 50, 255 (JFM 50.0255.*)).

Citations:

JFM 50.0255.*
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References:

[1] Vgl. Anm. 11 Severi, Rend. Semin. mat. Roma (2)7 (1932), S. 43
[2] zitierte Arbeit von Severi, S. 42.
[3] Satz 4 gilt nicht mehr bei beliebiger Abschließung des Raumes, so nicht mehr in dem von Osgood eingeführten ?Raume der Funktionentheorie?; hier können wir behaupten, daß die gegebene transzendente Fläche mindestenseine dern unendlichfernen Ebenen als wesentliche Singularitätenfläche hat. Wohl gilt Satz 4 in allen Räumen, deren unendlichferne Punkte eineirreduzible analytische Mannigfaltigkeit bilden. Satz 4 enthält als unmittelbare Folgerung den bekannten Hurwitz-Weierstraßschen Satz, daßeine im abgeschlossenen Raume merornorphe Funktion eine rationale ist, S. 41).
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