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Transformationsformeln gewisser Besselscher Reihen, Beziehungen zu Zeta-Funktionen. (German) JFM 61.0400.02
In Verallgemeinerung einer Formel von Watson (Quarterly Journ. of Math. (Oxford series) 2 (1931), 298-309; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 430) wird \[ \begin{gathered} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}K_\nu(2\pi u\,|\,n+\alpha|)\cdot|\,n+\alpha|^{\nu} e^{2\pi i\beta(n+\alpha)}= \frac{\varGamma(\nu+\frac12)u^\nu}{2\pi^{\nu+\frac12}} \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \frac{e^{-2\pi i\alpha n}}{\{(n+\beta)^2+u^2\}^{\nu+\frac12}},\\ 0\leqq\alpha<1,\;\beta\;\text{reell}, \mathfrak R u > 0, \end{gathered} \] bewiesen. Die Formel gilt im Falle \(0 < \alpha < 1\) für \(\mathfrak R(\nu)>-\frac12\), im Falle \(\alpha = 0\) für \(\mathfrak R(\nu)>0\). In Verallgemeinerung einer Formel von Doetsch (Compositio math. l (1934), 85-97; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 306) wird eine ähnliche Relation, in der die \(J_\nu(x)\) auftreten, hergeleitet.
Aus der obigen Formel folgt, in Verallgemeinerung einer Watsonschen Darstellung für \(\zeta(s)\), eine ähnliche für die verallgemeinerte \(\zeta\)-Funktion \(\zeta (s ; a)=\sum\limits_{n=0}^\infty{\dfrac1{(n+a)^s}}, 0 < a <1\). Das interessanteste Ergebnis ist die folgende Transformationsformel: Es sei \(u>0\), reell, \(w\) komplex; \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) seien ganze Zahlen und \[ \begin{alignedat}{2} z^*&=\frac{\delta z+\beta}{\gamma z+\alpha},\qquad& \alpha\delta&-\beta\gamma=\varepsilon=\pm1,\\ z&=v+iu,&z^*&=v^*+\varepsilon iu^*. \end{alignedat} \] Setzt man \[ \begin{split} \varTheta(u,v,w)=\sum\limits_{m_1,m_2=1}^{\infty} \cos(2\pi vm_1m_2)K_w(2\pi um_1m_2)\cdot\left(\dfrac{m_1}{m_2}\right)^w\\ +\tfrac14u^w\varGamma(w+\tfrac12)\pi^{-w-\frac12}\zeta(2w+1)+ \tfrac14u^{-w}\varGamma(w)\pi^{-w}\zeta(2w), \end{split} \] so gilt \[ \sqrt u\varTheta(u, v, w) = \sqrt{u^*}\varTheta (u^*, v^*, w). \] Dieses Resultat beruht im wesentlichen (obschon es anders hergeleitet wird) auf der Transformationsformel \[ \begin{gathered} 4{\int\limits_0^\infty\int\limits_0^\infty}K_\nu(2\pi x_1x_2) \left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^\nu \cos(2\pi x_1y_1)\cos(2\pi x_2y_2)\,dx_1\,dx_2= \left(\dfrac{y_1}{y_2}\right)^\nu K_\nu(2\pi y_1y_2);\\ |\mathfrak R(\nu)|<\frac12,y_1>0,y_2>0. \end{gathered} \] Eine ähnliche elegante Formel wird für \(J_\nu(2\pi y_1y_2)\) und \(K_0(4\pi\sqrt{y_1y_2y_3y_4})\) gegeben.

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