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Generalized hypergeometric series. (English) JFM 61.0406.01
108p. London, Cambridge University Press (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics No. 32) (1935).
Das Büchlein gibt eine Zusammenfassung der Untersuchungen, die in den letzten Jahren vom Verf. unter anderem über die verallgemeinerten hypergeometrischen Reihen von der Form \[ {}_pF_q\binom{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p;z}{\varrho_1,\varrho_2,\dots,\varrho_q}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac {(\alpha_1)_n(\alpha_2)_n\dots(\alpha_p)_n} {n!(\varrho_1)_n(\varrho_2)_n\dots(\varrho_q)_n}z^n \] angestellt worden sind; dabei bedeutet \[ (\alpha)_n=\alpha(\alpha+1)\dots(\alpha+n-1). \] gewöhnliche hypergeometrische Reihe ist in dieser Bezeichnung: \[ F(\alpha,\beta,\gamma;z)={}_2F_1\binom{\alpha,\beta;z}\gamma; \] von ihr werden in den beiden ersten Kapiteln nur diejenigen Sätze und Eigenschaften angeführt, die für die folgenden Kapitel nötig sind. Das dritte Kapitel ist der Reihe \({}_3F_2\) gewidmet; die Sätze von Dixon, Watson und Whipple werden bewiesen. In den drei folgenden Kapiteln werden Methoden für die Gewinnung von Transformationsformeln der allgemeinen \({}_pF_q\) angegeben; im vierten Kapitel wird die Summation von Reihen niederer Ordnung verwendet; im fünften Kapitel werden ein Satz von Dougall, der wesentlich einfacher bewiesen wird, und ein solcher von Carlson herangezogen; im sechsten Kapitel werden die Barnesschen Kurvenintegrale benutzt. Das siebente Kapitel bringt Transformationsformeln für spezielle “well poised” Reihen, für die ist: \[ q = p - 1,\quad 1 + \alpha_1 =\varrho_1+\alpha_2=\cdots =\varrho_{p-1}+\alpha_p. \] Hieran schließen sich einige Sätze über die Heineschen Reihen: \[ {}_r\varPhi_s\binom {(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r;z}{\varrho_1,\varrho_2,\dots,\varrho_s}=\sum\frac {(\alpha_1)_{qn}(\alpha_2)_{qn}\dots(\alpha_r)_{qn}} {(q)_{qn}(\varrho_1)_{qn}\dots(\varrho_s)_{qn}}z^n, \] wo ist: \[ (\alpha)_{q0}=1;\quad(\alpha)_{qn}=(1-\alpha)(1-\alpha q)\dots (1-\alpha q^{n-1}),n\geqq1; \] Grenzbetrachtungen ergeben die Rogers-Ramujanschen Identitäten. Das neunte Kapitel enthält eine Skizze der Appellschen hypergeometrischen Funktion mit zwei Veränderlichen. Im letzten Kapitel werden die Identitäten von Cayley und Orr über die gewöhnliche hypergeometrische Reihe und einige andere Resultate behandelt. Den Abschluß bilden eine Sammlung von Beispielen und Aufgaben sowie ein Literaturverzeichnis.