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Sur une catégorie d’équations fonctionnelles. (French) JFM 61.0421.03
Dividiert man bei Fredholmschen Integralgleichungen dritter Art durch den Koeffizienten, mit dem die unbekannte Funktion multipliziert ist, so erhält man im allgemeinen eine Integralgleichung zweiter Art, in der der Kern stellenweise unendlich wird, so daß das in ihr auftretende Integral seinen Sinn verliert. Schließt man aber diese Unstetigkeiten durch geeignet definierte Punktmengen, deren Maße gegen Null streben, aus, so strebt dabei der Wert des Integrals gegen den Cauchyschen Hauptwert, und man erhält eine Gleichung mit Hauptintegralen. In der vorliegenden Abhandlung studiert Verf. derartige Gleichungen in \(m\)-dimensionalen Gebieten \(\mathfrak E\) mit Kernen \(C (X, A)\), die stetig sind, außer wenn \(A\) einer Punktmenge \(\mathfrak M\subset \mathfrak E\) angehört, welche aus mehreren Mannigfaltigkeiten von verschiedenen Dimensionen bestehen, und auch isolierte Punkte enthalten; diese Menge \(\mathfrak M\) ist unabhängig von \(X\). (Der Fall, wo die Unstetigkeiten des Kernes gerade in den Punkten \(A = X\) liegen, ist in einer früheren Abhandlung des Verf. studiert worden, vgl. Equations à intégrales principales, Ann. Ecole norm. (3) 51 (1934), 251-292, 293-372; F. d. M. \(60_{\text{II}}\).) Die Unstetigkeiten in den Punkten von \(\mathfrak M\) sind von der Art, daß sie Anlaß geben zu einem Hauptintegral. Für die Gleichungen mit solchen Hauptintegralen beweist Verf. die Gültigkeit der Fredholmschen Sätze und zeigt auch die Abhängigkeit der Lösungen von der Wahl der bei der Definition der Hauptintegrale auftretenden Gebiete, durch die bei der Integration die Punkte von \(\mathfrak M\) aus \(\mathfrak E\) ausgeschlossen werden. Die Methode, mit der Verf. diese Resultate gewinnt, besteht in dem schon vielfach in der Theorie der Integralgleichungen angewandten Verfahren, von der gegebenen Gleichung \[ \varrho(X) = \lambda\int\limits_{\mathfrak E}^{(m)} G(X, A) \varrho (A)\, dV_A = f(X) \tag{1} \] zu Gleichungen mit den Kernen \[ H(X, \varXi; \lambda) -G (X, \varXi)-\lambda \int\limits_{\mathfrak E}^{(m)} H(X, A; \lambda) G (A, \varXi)\, dV_A \] bzw. \[ H(X, \varXi; \lambda) - G(X,\varXi)-\lambda\int\limits_{\mathfrak E}^{(m)} G (X, A) H (A, \varXi; \lambda)\, dV_A \] überzugehen, deren Lösungen in leicht übersehbarer Weise mit denen der Gleichung (1) zusammenhängen. Durch geeignete Wahl des willkürlich wählbaren Kernes \(H(X, \varXi; \lambda)\) wird erreicht, daß man eine Integralgleichung erhält, deren Lösung man beherrscht.

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Full Text: DOI Numdam EuDML