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General analysis. I. (English) JFM 61.0433.06
VI\({} + {}\)231 p. Philadelphia, The American Philosophical Society (Memoirs of the Amer. Philos. Soc. 1) (1935).
Die Untersuchungen des Verf. über Allgemeine Analysis aus den Jahren 1915 bis 1932, die in Einzelheiten bisher nur wenig bekannt waren, sollen nun einem breiteren mathematischen Publikum zugänglich gemacht werden. Ihre Veröffentlichung unter Mitwirkung von R. W. Barnard ist in vier Teilen beabsichtigt.
Der nun vorliegende erste Teil berichtet einleitend über die verschiedenen Entwicklungsstadien der Allgemeinen Analysis von Moore. Ihre jetzige Fassung kann folgendermaßen beschrieben werden:
Gegeben sei eine Grundmenge \(\mathfrak P\) von Elementen \(p\) irgendwelcher Natur; \(\mathfrak A\) sei entweder das System der reellen oder komplexen Zahlen, oder das Zahlensystem der Quaternionen. \(\varepsilon (p_1, p_2)\) sei eine in \(\mathfrak P\times \mathfrak P\) eindeutige Funktion mit Werten aus \(\mathfrak A\), die Grundmatrix; sie sei bezüglich \(p_1\), \(p_2\) hermitesch symmetrisch. Gegenstand der Untersuchung sind die auf \(\mathfrak P\) eindeutig erklärten Funktionen \(\xi (p) \) mit Werten aus \(\mathfrak A\). Mit Hilfe der Grundmatrix \(\varepsilon\) läßt sich einer solchen Funktion \(\xi\) durch einen gewissen Grenzprozeß eine reelle, nicht negative Zahl (oder \(+\infty\)), \(M\xi\), als Modul zuordnen. Die Gesamtheit \(\mathfrak M\) der \(\xi\) mit endlichem \(M\xi\) erfüllt einen “rechtslinearen” metrischen Raum. Ein ähnlicher Grenzprozeß führt auf einen hermitesch bilinearen Integraloperator \(J\xi_1\xi_2\), der in \(\mathfrak M\times\mathfrak M\) endlich ist. Beispiele dieser allgemeinen Theorie sind: der Hilbertsche Raum, der Raum gewisser im Hellingerschen (oder auch im Radonschen) Sinne integrierbarer Funktionen, u. a. Die stetigen linearen (bilinearen) Operationen in \(\mathfrak M\) sind darstellbar mit Hilfe der \(J\)-Operation. Es läßt sich eine verallgemeinerte Fouriertheorie begründen, die auf ein eingehendes Studium gewisser Teilräume von \(\mathfrak M\) hinführt. Von Moore stammt auch eine Theorie des Eigenwertproblems einer bezüglich \(\varepsilon\) modularen hermiteschen Matrix, die der von F. Riesz und Hellinger für lineare Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten entwickelten Theorie analog ist.
Der eigentliche Gegenstand des vorliegenden Teiles ist die Algebra der Matrizen, deren Elemente einem nicht kommutativen Körper \(\mathfrak A\) angehören.
1. Kapitel: Algebra der Matrizen (ohne Determinantenbegriff); lineare Abhängigkeit; Rang einer Matrix; Anwendung auf lineare Gleichungen; unendliche Matrizen endlichen Rangs.
2. Kapitel: Einschränkung des zugrunde liegenden Körpers \(\mathfrak A\) durch Einführung einer involutorischen Operation, die dem Element \(a\) von \(\mathfrak A\) das konjugierte Element \(\bar a\) zuordnet; die drei Typen von Körpern \(\mathfrak A\), in denen eine Operation \(\bar a\) definiert ist (Analogon eines Satzes von Frobenius); hermitesche Matrizen; Determinante einer hermiteschen Matrix; die Kroneckersche Reduktion bei einer hermiteschen Matrix; hermitesche Bilinearformen.
3. Kapitel: Weitere Einschränkung von \(\mathfrak A\) durch Hinzunahme einer Ordnungsrelation in \(\mathfrak A\); “positive” hermitesche Matrizen; Trägheitsgesetz; die “allgemeine reziproke” Matrix einer beliebigen endlichen Matrix; die zu einer hermitesch bilinearen Operation gehörige Gramsche Matrix. Orthogonalisierung von Vektormengen.
Die Theoreme, nicht aber die Beweise, sind in einer textfreien, leicht verständlichen Zeichensprache abgefaßt. Eine ausführliche Zusammenstellung der verwendeten mathematischen und logistischen Zeichen und ein Sach- und Namensverzeichnis erleichtern dem Leser das Einarbeiten in die sehr allgemeinen Gedankengänge des Buches. (III 2, 5 B.)