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Der Faltungssatz in der Theorie der Laplace-Transformation. (German) JFM 61.0449.02
Die Funktionen \(F_1(t)\), \(F_2(t)\) seien für \(t \geqq 0\) quadratisch integrabel oder aber in jedem Intervall \(0 < T_1\leqq t\leqq T_2\) eigentlich integrabel und bis zum Nullpunkt uneigentlich absolut integrabel nach Riemann. Verf. bezeichnet den Ausdruck \[ F_1*F_2 \equiv\int\limits_0^t F_1 (\tau) F_2 (t -\tau)\,dr = \int\limits_0^t F_1 (t - \tau) F_2 (\tau)\, d\tau \] als “Faltung”. Es gilt: \(F_1*F_2\) ist stetig, \[ F_1*F_2 = F_2*F_1,\quad (F_1*F_2)* F_3) = F_1 * (F_2 * F_3). \] Wird unter \[ L\{F\}\equiv \int\limits_0^\infty e^{-st}F(t)\,dt=f(s) \] wie üblich die Laplace-Transformation verstanden, so ist das Ziel der Arbeit die Untersuchung der Gültigkeit des Faltungssatzes: \[ L\{F_1*F_2\} = L\{F_1\}L\{F_2\}. \tag{1} \] Dies ist ausgeschrieben \[ \int\limits_0^\infty e^{-st}\biggl\{\int\limits_0^t F_1(t- \tau)F_2(\tau)\, d\tau\biggr\} dt = \int\limits_0^\infty e^{-su}F_1(u)\, du \cdot \int\limits_0^\infty e^{-sv} F_2(v)\, dv. \] Bei absoluter Konvergenz von \(L(F_1)\) und \(L(F_2)\) für \(s = s_0\) erkennt man hieraus durch Integrationsvertauschung rechts und die Substitution \(u + v= t\) die absolute Konvergenz von \(L\{F_1*F_2\}\) für \(s = s_0\) und die Gültigkeit von (1). Nach demselben Gedanken, nach dem der Abelsche Multiplikationssatz für Potenzreihen bewiesen wird, wird weiter aus der Konvergenz von \(L(F_1)\), \(L(F_2)\) sowie \(L\{F_1 * F_2)\) für \(s = s_0\) die Gültigkeit von (1) erschlossen. Der Gültigkeitsbereich von (1) kann durch Hinzufügen geeigneter Faktoren erweitert werden. So gilt z. B: Wenn \(L\{F_1\}\) und \(L\{F_2\}\) für \(s_0\) konvergieren, so ist für \(\operatorname{Re}(s)> \operatorname{Re}(s_0)\) \[ L\{e^{s_0\cdot t} *F_1 *F_2\} = \frac1{(s-s_0)^2} L\{F_1\} \cdot LF_2\}, \] wobei das Integral links für \(\operatorname{Re}(s) > \operatorname{Re}(s_0)\) absolut konvergiert. Ist unter der gleiches Annahme weiter das reelle \(s_0 > 0\), so gilt für \(\operatorname{Re} (s) > s_0\) \[ L\{t*F_1*F_2\} =\frac1{s^2} L\{F_1\}\cdot L\{F_2\}. \]
Eine weitere Möglichkeit zur Verallgemeinerung der Gültigkeit von (1) besteht in der Verallgemeinerung der Laplaceschen Transformation. Diese geschieht durch Anwendung des vom Verf. eingeführten Begriffes “Cesàro-mediabel \(k\)-ter Ordnung” (Diss. Göttingen, 1920; F. d. M. 47, 199 (JFM 47.0199.*)), indem die \(L^k\)-Transformierte von \(F\) für den Wert \(s\) durch \[ L^k\{F\} = \lim_{t\to\infty} \frac k{t^k} \biggl[ t^{k-1} * \int\limits_0^t e^{-s\tau} F(\tau)\, d\tau\biggr] \] für \(k>0\) erklärt wird; \(L^0\) ist die gewöhnliche Laplace-Tranformation. Existiert \(L^k\), so existiert auch \(L^{k'}\) für \(k' > k\). Der Konvergenzbereich von \(L^k\) kann größer sein als der von \(L\), wie \(F = e^{it}\) zeigt.
Es gilt der Faltungssatz: Wenn \(L^{k_1}\{F_1\}\) und \(L^{k_2}\{F_2\}\) mit \(k_1\geqq 0\), \(k_2\geqq 0\) für \(s = s_0\), konvergieren, so konvergiert \(L^{k_0}\{F_1*F_2\}\) mit \(k_0 = k_1 + k_2 + 1\) ebenfalls für \(s_0\), und es ist dort \[ L^{k_0}\{F_1 *F_2\} = L^{k_1}\{F_1\} \cdot L^{k_2}\{F_2\}. \] Der Spezialfall \(k_1= k_2 = 0\) liefert das Analogon zum Satz über die Cesàrosummabilität der Produktreihe.

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Full Text: EuDML