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Sur une équation de Monge à deux variables indépendantes. (French) JFM 61.0515.02
In zwei früheren Arbeiten (Bull. Sc. math. (2) 52 (1928), 392-408; (2) 53 (1929), 196-212. F. d. M. 54, 736 (JFM 54.0736.*); \(55_{\text{I}}\), 278) hat Verf. die Fälle bestimmt, in denen die Mongesche Gleichung mit zwei unabhängigen Veränderlichen \[ \varOmega = \Sigma \;A_{ik} \, dx_i\,dx_k \qquad (i, k = 1, 2, 3, 4) \] integriert werden kann. Dies ist der Fall, wenn man die gegebene Gleichung auf eine der folgenden Formen \[ dP\, dX + dQ \, dY = 0, \qquad dz_3 \, dz_4 + f(z_1, z_2)\, dz_1\, dz_2 = 0 \] reduzieren kann. In der vorliegenden Abhandlung zeigt Verf., wie man erkennen kann, ob man eine gegebene Gleichung \(\varOmega = 0\) durch Substitution neuer Veränderlichen in eine der obigen Formen reduzieren kann. Als Resultat kann man folgenden Satz betrachten: Die Reduktion auf die erste oder die zweite jener Formen ist nur möglich, wenn die assozierte Pfaffsche Form oder die lineare Assozierte der zweiten oder dritten Klasse angehört. Als Anwendung beschäftigt er sich nunmehr mit einem Problem, welches er schon früher studiert hat: Auf einer beliebigen Gerade \(\varDelta\) des Raumes \[ x = az + p, \quad y = bz + q \] wähle man einen Punkt \(I\) durch die Bedingung \(z = \dfrac{f(a, b, p, q)}{z}\) aus, wo \(f(a, b, p, q)\) eine beliebige Funktion ist; man bestimme die Kongruenzen, welche die Eigenschaft besitzen, daß auf jeder ihrer Geraden \(\varDelta\) der entsprechende Punkt \(I\) mit dem Mittelpunkt der Strecke zusammenfällt, die durch die Brennpunkte von \(\varDelta\) begrenzt ist.

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Full Text: EuDML