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Le problème de Cauchy pour une classe de systèmes d’équations aux dérivées partielles. Application aux équations de Dirac. (French) JFM 61.0541.03
Gegeben sei ein System linearer partieller Differentialgleichungen erster Ordnung \[ \sum_{h,k}\gamma^k_{ih}\frac{\partial \varphi_h}{\partial x_k}=\psi_i\qquad (i,h=1,\ldots,n; \;k=1,\ldots,p), \tag{\(S\)} \] abgekürzt \[ F(\varphi)\equiv\sum_k\gamma^k\frac{\partial\varphi}{\partial x_k}=\psi. \] Dabei seien (1) die \(\gamma^k_{ih}\) Konstanten und die \(\psi_i\) reguläre Funktionen der \(x_k\); (2) existieren Konstantenmatrizes \(\bar\gamma^k\) derart, daß \[ \overline{F}F\varphi\equiv\frac12\sum_{h,k} (\bar\gamma^h\gamma^k+\gamma^h\bar\gamma^k) \frac{\partial^2\varphi}{\partial x_k\partial x_h}\equiv \sum_{h}\varepsilon_h\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_h^2}, \] wobei \( \overline{F}\varphi\equiv\sum\bar\gamma^k\dfrac{\partial\varphi}{\partial x_k}\) und \(\varepsilon_1= 1\), \(\varepsilon_2=\cdots=\varepsilon_p=-1\) ist; es soll also jede Lösung des Systems \((S)\) selbst Lösung der Wellengleichung (mit inhomogenem Gliede) sein. Aus (2) folgt übrigens \(n\equiv 0\;(\hskip-0.75em\mod 2)\). -Verf. löst nun für ein System \((S)\) unter den Voraussetzungen (1) und (2) das Cauchy-Problem: Diejenige Lösung zu bestimmen, welche auf einer vorgegebenen Fläche vorgegebene Werte annimmt. Die Behandlung erfolgt mit Hilfe einer Übertragung der Hadamardschen Methode zur Integration der Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom normalen, hyperbolischen Typ (vgl. J. Hadamard, Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques, Paris, 1932; F. d. M. 58). Dementsprechend wird zuerst der Fall einer ungeraden Anzahl unabhängiger Veränderlichen erledigt und auf diesen alsdann der Fall einer geraden Anzahl zurückgeführt (durch Einführung einer zusätzlichen, unabhängigen Veränderlichen). Behandelt werden noch Systeme der Gestalt \(F(\varphi) - i\alpha\gamma^0\varphi=\psi\), in welchen also in \(\varphi\) lineare Glieder hinzutreten. -Als Anwendung ergibt sich eine einfache Darstellung der Lösung der Dirac-Gleichungen des “magnetischen” Elektrons.
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Full Text: EuDML