Metrische Geometrie und Variationsrechnung. (German) JFM 61.0548.01

Menger, K.

Fundamenta math. 25, 441-458 (1935).

Verf. führt den Begriff eines “fastmetrischen” Raumes ein, d.h. eines solchen, in welchem die Abstandsfunktion \(\varrho (p, q)\) von zwei Elementen den folgenden Forderungen genügt: (1) \(\varrho(p, q)\geqq 0\), (2) \(\varrho(p, p) = 0\), (3) \(\varrho(p, q)\leqq\sigma[\varrho(q,p)]\), wo \(\sigma(x)\) eine Funktion von der Eigenschaft \(\lim\limits_{x\to0}\sigma(x)=0\) ist, \[ \varrho(p,r)\leqq\varrho(p,q)+\varrho(q,r)+ \operatorname{Min}[\varrho(p,q),\varrho(q,r)]\cdot \varDelta[\operatorname{Max}\{\varrho(p,q),\varrho(q,r)\}], \tag{4} \] wo \(\varDelta(x)\) eine nichtnegative Funktion von der Eigenschaft \(\lim\limits_{x=0}\varDelta(x) = 0\) ist. Es zeigt sich, daß in diesen Räumen die Unterhalbstetigkeit der Bogenlänge besteht und folglich, nach Hilberts Methode, ein Existenztheorem für geodätische Bogen bewiesen werden kann. Als Anwendung wird die Lösung des klassischen Variationsproblems, im definiten Falle, unter sehr allgemeinen Voraussetzungen gegeben.

Reviewer: Golab, S., Dr. (Krakau)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung.