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Propriétés asymptotiques des sommes de variables aléatoires enchainées. (French) JFM 61.0562.02
Bull. Sc. math. (2) 59, 84-96 (1935); 59, 109-128 (1935).
\(u_1, u_2,\ldots\) sei eine Folge verketteter zufälliger Variablen, und es sei (1) jedes \(u_\nu\) beschränkt; (2) die Erwartung für \(u_n\) nach dem Ergebnis \(u_1,\ldots, u_{n-1}\) sei \(E_{n-1}(u_n)\), und zwar wird vorausgesetzt, daß dies – unabhängig von dem Vorhergehenden – verschwindet. Entsprechend sei \(\mu_n^2=E_{n-1}(u_n^2)\), \(S_n=\sum\limits_1^n u_\nu\), \(\sigma^2_n=\sum\limits_1^n \mu_\nu^2\). Dann wird bewiesen: Die Reihen \(u_1+ u_2 + \cdots\) und \(\mu_1^2+\mu_2^2+\cdots\) sind entweder beide konvergent oder beide divergent bis auf Fälle der Wahrscheinlichkeit 0. – Wird das durch die Folge der \(u\) dargestellte Spiel abgebrochen, sobald \(\sigma_n\) den Wert \(t\) überschreitet, so wird unter anderem ferner gezeigt: Der dann realisierte Gewinn hat für große \(t\) asymptotisch eine Gaußsche Verteilung.

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