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Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimensionen. (German) JFM 61.0622.04

Eine stetige Abbildung eines Raumes \(A\) auf einen Raum \(B\) heißt wesentlich, wenn es nicht möglich ist, durch stetige Abänderung der Abbildung einen Teil von \(B\) von der Bedeckung durch die Bildmenge von \(A\) zu befreien. Für die Frage, ob eine \(N\)-dimensionale Sphäre \(S^N\) auf eine Sphäre geringerer Dimension \(S^n\) wesentlich abgebildet werden kann, leistet die sonst so wirksame Methode des Abbildungsgrades nichts, da offenbar das Bild jedes Zyklus der \(S^N\) in \(S^n\) homolog Null ist. Verf. hat schon in einer früheren Arbeit “Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche” (Math. Ann. 104 (1931), 637-665; F. d. M. 57) für den dort behandelten Spezialfall eine Invariante \(\gamma\) der Abbildungsklasse gefunden, die geeignet ist, bei dieser Frage die Rolle des Abbildungsgrades zu übernehmen: \(\gamma\neq 0\) sichert die Wesentlichkeit der Abbildung. Die Invariante \(\gamma\) kann auch für den Fall der Dimensionszahlen \(N = 2n-1\) definiert werden und führt für den Fall \(N = 4k-1\), \(n= 2k\) zur Entscheidung der Frage.
Ist nämlich \(N = 2n-1\), so ist – bei erlaubter Beschränkung auf simpliziale Abbildungen – die Originalmenge \(\varphi(\xi)\) eines im Innern eines \(n\)-dimensionalen Simplex von \(S^n\) gelegenen Punktes \(\xi\) ein \((n-1)\)-dimensionaler Zyklus von \(S^N\). Für zwei verschiedene Punkte \(\xi_1\), \(\xi_2\) sind \(\varphi(\xi_1)\), \(\varphi(\xi_2)\) zueinander fremd; sie haben eine bestimmte Verschlingungszahl, und diese von der speziellen Wahl von \(\xi_1\), \(\xi_2\) unabhängige Verschlingungszahl ist die Invariante \(\gamma\). Ist \(C_1^n\) ein von \(\varphi(\xi_1)\) berandetet Komplex, so ist, da der Rand von \(\varphi(\xi_1)\) auf einen Punkt abgebildet wird, das Bild von \(C_1^n\) ein Zyklus; man kann also von dem Grad der Abbildung von \(C_1^n\) auf \(S^n\) sprechen, und dieser Grad ist gleich der algebraischen Schnittzahl von \(C_1^n\) mit irgendeinem \(\varphi(\xi_2)\), also gleich \(\gamma\). Die Vorzeichenregel für die Verschlingungszahl bei Vertauschung der beiden Zyklen zeigt: \(\gamma=0\) bei ungeradem \(n\). Man muß sich also auf den Fall \(N = 4k-1\), \(n = 2k\) beschränken.
Die Existenz wesentlicher Abbildungen der \(S^{4k-1}\) auf die \(S^{2k}\) ist enthalten in dem Satz: Für jedes \(k\geqq 1\) gibt es Abbildungen der \(S^{4k-1}\) auf die \(S^{2k}\) mit \(\gamma\neq 0\), insbesondere solche mit \(\gamma = 2\). Daraus folgt leicht die Existenz unendlich vieler wesentlicher Abbildungsklassen.
Zum Beweis werden Abbildungen des Produktraums \(P^{2r} = S_1^r \times S_2^r\) zweier \(r\)-dimensionaler Sphären auf die \(S^r\) untersucht. Eine solche Abbildung heißt vom Typus \((c_1, c_2)\), wenn die \(r\)-dimensionale Homologiebasis \(S_1^r\times p_2, p_1\times S_2^r\) (\(p_i\) Punkt von \(S_i^r\)) mit den Graden \(c_1\) bzw. \(c_2\) auf \(S^r\) abgebildet wird. Bei ungeradem \(r\) erhält man eine Abbildung von Typus \((-1,\pm 2)\) folgendermaßen: Man deute \(p^{2r}\) als Raum der geordneten Punktepaare \((p_1, p_2)\) von \(S^r\); der Bildpunkt \(p\) des Paares \(p_1, p_2\) entsteht durch Spiegelung von \(p_1\) an derjenigen Ebene durch den Mittelpunkt von \(S^r\), die auf dem durch \(p_2\) gehenden Durchmesser senkrecht steht (bei geradem \(r\) hat diese Abbildung den Typus \((-1,0)\)). Daraus kann man – durch vorher ausgeführte Abbildungen von \(S_1^r, S_2^r\) auf sich mit den Graden \(b_1, b_2\) – Abbildungen vom Typus \((-b_1,\pm 2b_2)\) herstellen, also insbesondere eine solche vom Typus \((1,2)\). – Der Zusammenhang mit den wesentlichen Abbildungen der Sphären wird nun vermittelt durch den Satz: Wenn es eine Abbildung von \(P^{2r}\) auf \(S^r\) vom Typus \((c_1, c_2)\) gibt, so gibt es auch eine Abbildung von \(S^{2r+1}\) auf \(S^{r+1}\) mit \(\gamma=c_1c_2\). Man kann nämlich durch \(P^{2r}\) die \(S^{2r+1}\) so in zwei Hälften zerlegen, daß – ähnlich wie beim Torus-Heegaard-Diagramm der \(S^3\) – von der oben erwähnten Homologiebasis von \(P^{2r}\) je eine \(S^r\) \(r\)-dimensionale Homologiebasis einer der beiden Hälften ist und diese beiden \(S^r\), wenn man jede in die entsprechende Hälfte hineindeformiert, die Verschlingungszahl 1 haben. Faßt man \(P^{2r}\) in dieser Weise als Teil einer \(S^{2r+1}\) und \(S^r\) als Großkugel einer \(S^{r+1}\) auf, so entsteht durch stets ausführbare Erweiterung einer Abbildung von \(P^{2r}\) auf \(S^r\) vom Typus \((c_1, c_2)\) zu einer Abbildung der beiden durch \(P^{2r}\) bestimmten Hälften von \(S^{2r+1}\) auf die beiden Halbkugeln von \(S^{r+1}\) gerade eine Abbildung mit \(\gamma=c_1 c_2\).
Ist \(r\) ungerade, also \(\gamma = 0\), so können die Abbildungen von \(P^{2r}\) auf \(S^r\) nur einen der trivialen Typen \((c, 0)\) oder \((0, c)\) haben. Von besonderem Interesse ist die Ermittlung derjenigen Dimensionszahlen \(r\), für die Abbildungen von \(P^{2r}\) auf \(S^r\) vom Typus \((1, 1)\) und somit von jedem Typus existieren; ihnen entsprechen wesentliche Abbildungen der \(S^{2r+1}\) auf \(S^{r+1}\) mit \(\gamma=1\) bzw. mit beliebigem \(\gamma\). Verf. kann Abbildungen vom Typus \((1,1)\) angeben für die Fälle \(r = 1, 3, 7\), und zwar mit Hilfe der komplexen Zahlen, der Hamiltonschen Quaternionen und der Cayleyschen Zahlen: Die Multiplikation der Größen vom Betrage 1 liefert jeweils die richtige Abbildung der Punktepaare der Einheitskugel. In diesen drei Fällen kann man auf der \(S^{2r+1}\), also der \(S^3\), \(S^7\), \(S^{15}\), Faserungen (ohne Ausnahmefasern; vgl. Seifert, Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume, Acta math. 60 (1933), 147-238; F. d. M. 59\(_{\text{II}}\)) in 1-, 3-, 7-dimensionale Großkugeln herstellen, so daß die Faserräume gerade der \(S^2\), \(S^4\), \(S^8\) homöomorph sind, und für die Faserabbildung \(\gamma = 1\) wird. – Die Konstruktion zur Faserung von Sphären liefert allgemein Faserungen von Sphären der Dimension \(2k-1\) in Kreise und Faserungen von \((4k-1)\)-dimensionalen Sphären in dreidimensionale; dies sind – außer der oben erwähnten der \(S^{15}\) in \(S^7\) – die einzigen bekannten Faserungen von Sphären.

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