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The topological transformation of a simple closed curve into itself. (English) JFM 61.0627.02
Der Hauptsatz (von Poincaré) auf diesem Gebiete heißt: Ist \(f (x)\) stetig und im engeren Sinne monoton, und ist \(f (x + 1) = f (x) + 1\), so gibt es eine (und nur eine) Zahl \(\tau\) und eine monotone Funktion \(g (x)\) mit den Eigenschaften \(g (x+1) =g(x)+1\), \(g\left(f(x)\right)=g(x)+\tau\). Der Beweis dieses und der benachbarten Sätze wird so ziemlich nach J. Nielsen (Mat. Tidskrift B 1928, 39-46; F. d. M. 54, 626 (JFM 54.0626.*)) gegeben. Hinzu kommen einige gehaltvolle Kriterien, die die Alternative (bei irrationalem \(\tau\)) des Vorhandenseins oder Fehlens von Konstanzstrecken von \(g (x)\) mit gleichmäßiger Konvergenz oder Fastperiodizität geeigneter Iterationsfolgen in Verbindung bringen. Das bisher einzige Kriterium (Denjoy: Sur les caractéristiques à la surface du tore, C. R. 194 (1932); 830-833, 2014-2016; Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore, Journ. de Math. (9) 11 (1932), 333-345; F. d. M. 58), das nur \(f (x)\), nicht die Iterierten betrifft (Konstanzstrecken fehlen, wenn \(f (x)\) vorhanden und von beschränkter Schwankung ist), erhält einen höchst zierlichen neuen Beweis, der auf den Apparat der Kettenbrüche verzichtet. Viel leichter ergeben sich Aussagen über Differenzierbarkeit und analytischen Charakter von \(g (x)\), wenn das Fehlen von Konstanzstrecken, also stetige Umkehrfunktion \(h (x)\) und Differenzierbarkeit bzw. analytischer Charakter der Funktion \(h \left(g (x) + g(y)\right)\), vorausgesetzt wird.

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