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Elliptische Funktionen und Kegelschnittbüschel. (German) JFM 61.0680.02

Ist \(\varphi(u)\) die elliptische Umkehrfunktion des Integrals \[ u = \int\limits_{x_0}^x \dfrac{d\xi}{\sqrt{F_4(\xi)}} \qquad (F_4 = \;\text{Polynom vierten Grades}), \] sind ferner \(u_1, u_2, u_3, u_4\) vier voneinander unabhängige Argumente, \(s\) ihre halbe Summe, so gilt folgende Gleichheit der Doppelverhältnisse: \[ (\varphi(u_1),\varphi(u_2), \varphi(u_3), \varphi(u_4))= (\varphi(s-u_1), \varphi(s-u_2), \varphi(s-u_3), \varphi(s-u_4)), \tag{1} \] die durch Zurückführung auf die \(\wp\)-Funktion leicht zu beweisen ist. Verf. zeigt, wie (1) mit den Ponceletschen Schließungssätzen zusammenhängt. Ist der Linienzug \(1, 2, 3, 4,\ldots\) bzw. \(1', 2', 3', 4'\ldots\) einem Kegelschnitt \(C_1\) ein-, einem andern \(C_2\) umbeschrieben, so gilt: \[ (1', 2, 3, 4') = (1, 2', 3', 4),\ldots, ((1', 2, n, (n + 1)') = (1, 2', n', (n + 1)), \tag{2} \] woraus durch Zusammenfallen von 4 mit 1 der Schließungssatz für Dreiecke und durch Induktion für \(n\)-Ecke folgt. (2) ist mit (1) identisch, denn setzt man \(C_1\) in Parameterdarstellung an: \[ x_1:x_2:x_3 = \xi^2:2\xi:1, \] und ist \(F_4(\xi)\) das Polynom, dessen Nullstellen die Schnittpunkte von \(C_1\) und \(C_2\) liefern, so wächst \(u\) vom Anfangs- zum Endpunkt einer Sehne des obigen Zuges um eine Konstante \(c\), und den Punkten \(1, 2,\ldots, n\) bzw. \(1', 2',\ldots, n'\) sind die Argumente \(u, u + c,\ldots,u+(n - 1)c\) bzw. \(v, v + c,\ldots, v+ (n-1)c\) zugeordnet, so daß (2) sich mit (1) deckt. Ändert man \(C_2\) in dem von \(C_1\) und \(C_2\) bestimmten Büschel, so ändert sich \(c\), und der Büschelparameter ist direkt in die Form \(\wp(c)\) zu bringen. In dem Büschel läßt sich der Satz ebenfalls deuten; ist nämlich \(C_3\) eine weitere Kurve des Büschels, und sind \(1, 2, 3, 4; 4', 3', 2', 1'\) auf \(C_1\) gelegen, berühren ferner \(1 2, 3 4, 1' 2', 3' 4'\) die \(C_2\) und \(2 3, 2' 3'\) die \(C_3\), so bilden die Linienzüge \(1\ldots 1'\) ein Brianchonsches Sechseck und umgekehrt. Aus (2) lassen sich bemerkenswerte Relationen für die Teilungsgleichungen der Perioden gewinnen; Verf. zeigt sie für die Sieben- und Elfteilung auf.
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