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Géométrie infinitésimale directe et physique mathématique classique. (French) JFM 61.0728.01

Mémorial Sc. math. 71, 60 p (1935).
Verf. bespricht den Grundgedanken sowie verschiedene Anwendungen “direkter”, d.h. im wesentlichen gruppen- und mengentheoretischer, Methoden auf Infinitesimalgeometrie und Variationsrechnung, bzw. auf mit letzterer zusammenhängende klassischphysikalische Probleme. Als entscheidend wird bezeichnet das in der modernen Mathematik allenthalben bemerkbare Streben nach Befreiung von unnötigen Voraussetzungen und dementsprechend nach Ausmerzung nicht “kausaler”, d.h. solcher Beweise, bei welchen die Voraussetzungen nicht durch die Behauptung, sondern durch die (meist rechnerischen) Hilfsmittel bestimmt werden. Über die zur Besprechung gelangenden Dinge unterrichtet nachstehende kurze Inhaltsangabe: Einleitung. 1. Kap. Distanzbegriff und Differentialgeometrie. Besprochen wird unter anderem: Häufungs- und Limesmenge einer Punktmengenfolge. Kontingent und Paratingent. Verallgemeinerte Oberhalbstetigkeit. Meusnier- und Eulertheorem der Flächentheorie. 2. Kap. Gruppen, Approximationsfragen. Besprochen wird unter anderem: Einmal oder mehrmals differenzierbare topologische Abbildungen und zugehörige Geometrien. 3. Kap. Variationsprobleme. Hamilton-Jacobische Differentialgleichung. Wellen. Dabei handelt es sich um Folgendes: Ist \(\psi(x, y; \xi, \eta)\) eine stetige, in \(\xi, \eta\), vom ersten Grade positiv homogene Funktion, so kann bei Zugrundelegung des durch \(\int\psi (x, y; x', y') dt\) bzw. durch das zugehörige Variationsproblem definierten Entfernungsbegriffes die Frage nach den Punkten fester Entfernung von einer vorgegebenen (ebenen) Punktmenge aufgeworfen werden. Die dem Variationsproblem zugeordnete (partielle) Hamilton-Jacobische Differentialgleichung definiert in jedem Raumpunkt \(Q\) einen Tangentialkegel \(\mathfrak{T}\). Und die Lösung des in Rede stehenden Problems hängt zusammen mit der Bestimmung von Flächen, welche der Differentialgleichung in dem Sinne genügen, daß das Kontingent der Fläche mit \(\mathfrak{T}\) mindestens eine Erzeugende gemeinsam hat, ohne aber ins Innere von \(\mathfrak{T}\) einzudringen (intégrale contingente). Im Zusammenhange damit wird die Halbstetigkeit der (im obigen Sinne verallgemeinerten) Bogenlänge besprochen. Verschiedene Anhänge. Bezüglich des Meusniertheorems sei noch auf die einschlägige Arbeit von Hjelmslev (Grundlag for Fladernes Geometri, K. Danske Vid. Selsk. Skr. (7) 12, Nr. 1 (1914), 52 S.) hingewiesen. (IV15.)
Full Text: EuDML