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Kürzeste Wege und Totalkrümmung auf Flächen. (German) JFM 61.0789.01
Diese Arbeit – von der bereits früher eine kurze Ankündigung erschienen ist (C. R. 197 (1933), 1165-1167; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 661) – bedeutet nach den bekannten Untersuchungen von Mangoldt über Flächen positiver Krümmung (Journ. f. Math. 91 (1881), 23-54; F. d. M. 13, 578 (JFM 13.0578.*)) und von Hadamard über Flächen negativer Krümmung (Journ. de Math. (5) 4 (1898), 27-73; F. d. M. 29, 522 (JFM 29.0522.*)) den ersten größeren erfolgreichen Vorstoß in das Gebiet der Differentialgeometrie im Großen der offenen Flächen.
Es handelt sich um Flächen, die weder topologische noch differentialgeometrische Singularitäten besitzen. Die Differentialgeometrie ist im Riemannschen Sinne definiert, Einbettung in einen Raum wird also nicht vorausgesetzt ; die Resultate sind aber auch für den Fall von Flächen im dreidimensionalen Raum zum großen Teil neu. Wie es der Untersuchung der Metrik “im Großen” auf offenen Mannigfaltigkeiten angemessen ist, wird vorausgesetzt: Die Differentialgeometrie ist “vollständig”, d. h: jede beschränkte Punktmenge ist kompakt. Es werden insbesondere offene Flächen “endlichen Zusammenhanges” in Betracht gezogen, d.h. solche, die endlichfach punktierten geschlossenen Flächen homöomorph sind und die daher eine endliche Anzahl von “Enden” oder “unendlich fernen Punkten” besitzen (z. B. hat die Ebene ein Ende, der Kreiszylinder zwei Enden). Die Umgebung jedes Endes ist dem Äußeren eines Kreises in der Ebene homöomorph; sie wird als “Fluchtgebiet” bezeichnet; infolge der vorausgesetzten Vollständigkeit ist jede Punktfolge, die gegen einen unendlich fernen Punkt divergiert, unbeschränkt.
Die Untersuchung der Geometrie in diesen Fluchtgebieten ist naturgemäß das Wesentliche. Unter einem “Gürtel” wird eine Jordan-Kurve verstanden, welche in einem Fluchtgebiet dessen unendlich fernen Punkt umschließt; eine Folge von Gürteln heißt eine “Minimalfolge”, wenn die Längen der Gürtel gegen die untere Grenze der Gürtellängen dieses Fluchtgebietes streben. Die folgende Klassifizierung der Fluchtgebiete ist grundlegend: Das Fluchtgebiet heißt ein “Schaft”, falls jede Minimalfolge gegen den unendlich fernen Punkt divergiert; andernfalls heißt es ein “Kelch”; enthält ein Kelch keinen Schaft, so heißt er ein “eigentlicher” Kelch. (Ein “uneigentlicher” Kelch unterscheidet sich also in der Nähe des unendlich fernen Punktes nicht von einem Schaft. Beispiel eines Schaftes: Man lasse eine ebene Kurve um eine Asymptote oder eine Parallele einer Asymptote rotieren; Beispiel eines eigentlichen Kelches: der Kreiszylinder oder das einschalige Hyperboloid oder: Man lasse die \(\sin x\)-Kurve um eine Parallele zur \(x\)-Achse rotieren. Für Flächen negativer Krümmung fällt die Unterscheidung zwischen Schaft und Kelch mit Hadamards Unterscheidung der “nappes infinies non évasées” und “évasées” (a. a. O.) zusammen.)
Die Methode, nach der die Geometrie der Fluchtgebiete, und damit im wesentlichen der Fläche überhaupt, untersucht wird, beruht auf den folgenden drei älteren Prinzipien: (1) Existenzsätze für kürzeste Verbindungen zwischen zwei Punkten und für geschlossene kürzeste Linien von vorgeschriebenem topologischem Typus auf der Fläche, wobei diese Linien im allgemeinen in vorgegebenen beschränkten Bereichen verlaufen sollen, was das Auftreten von Ecken, zur Folge hat; (2) die Integralformel von Gauß-Bonnet, welche den Zusammenhang zwischen der Totalkrümmung eines Flächenstückes, der geodätischen Totalkrümmung des Randes und der topologischen Struktur des Flächenstückes herstellt; (3) die Cosinus-Formel für die Längenvariation einer, im allgemeinen gebrochenen, geodätischen Linie (Darboux, Théorie des surfaces, t. II (Paris, 1889; F. d. M. 19, 748 (JFM 19.0748.*)), liv. V, chap. IV, No. 525). Das Neue besteht in der zweckmäßigen Vereinigung dieser drei Prinzipien; so werden insbesondere auf Grund der Existenzsätze die Ränder derjenigen Flächenstücke hergestellt, auf welche dann die Gauß-Bonnetsche Formel anzuwenden ist. Dem Umfang nach am größten – und wesentlich breiter als es für die Zwecke dieser Arbeit nötig wäre -ist die Darstellung der Existenzsätze.
Derjenige Satz, der die Grundlage für die weiteren bildet, ist ein Existenzsatz; er behauptet, daß es in jedem Fluchtgebiet einen Gürtel \(R\) von einem der folgenden drei Typen gibt:
(a) \(R\) ist eine geschlossene geodätische Linie;
(b) \(R\) ist ein geodätisches Eineck (eine “Schleife”), dessen einziger Winkel \(w\), vom Unendlich-Fernen des Fluchtgebietes aus gesehen, \(<\pi\) ist;
(c) \(R\) ist ein geodätisches Polygon, dessen Winkel, wieder vom Unendlich-Fernen aus gesehen, sämtlich \(>\pi\) sind.
Genauer: Auf einem Schaft tritt immer der Fall (a) oder der Fall (b) ein; und zwar läßt sich, bei vorgegebenem \(\varepsilon > 0\), das Eineck \(R\) so wählen, daß sein Winkel \(w>\pi - \varepsilon\) ist. (Zum Beweis der letzten Tatsache wird die oben unter (3) erwähnte Cosinus-Formel benutzt.) Auf einem eigentlichen Kelch tritt immer der Fall (a) oder der Fall (c) ein.
Aus diesen Hauptsätzen ergibt sich nun ohne große Schwierigkeit – im wesentlichen durch Anwendung der Gauß-Bonnetschen Formel – eine Reihe interessanter Folgerungen, die das eigentliche Ziel der Untersuchung bilden (man vergesse im folgenden nicht, daß die Fläche immer als “vollständig” vorausgesetzt ist):
Auf jedem Schaft gibt es ein Gebiet negativer Krümmung.
Wenn die Fläche keinen Schaft enthält – also z. B. wenn ihre Krümmung nirgends negativ ist –, so besitzt jede beschränkte Punktmenge eine beschränkte geodätischkonvexe Hülle; eine solche braucht nicht zu existieren, wenn ein Schaft vorhanden ist.
Hat die (endlichfach zusammenhängende) Fläche \(F\) die Eulersche Charakteristik \(\chi(F)\) und besitzt sie eine Totalkrümmung \(C(F) = \iint K\,df\) (für die auch die Werte \(\pm\infty\) zugelassen sind), so gilt die Ungleichheit \[ C(F)\leqq2\pi\cdot\chi(F); \] falls \(F\) keinen eigentlichen Kelch enthält, steht hier das Gleichheitszeichen -in Verallgemeinerung eines bekannten Satzes über geschlossene Flächen. (Es ist \(\chi = 1\), wenn \(F\) vom Typus der Ebene, \(\chi = 0\), wenn \(F\) vom Typus des Kreiszylinders oder des (unberandeten) Möbiusschen Bandes ist. \(\chi < 0\) für alle anderen offenen Flächen.)
Jede offene Fläche mit überall positiver Krümmung ist vom topologischen Typus der Ebene. (Jede geschlossene Fläche mit überall positiver Krümmung ist bekanntlich vom Typus der Kugel oder der projektiven Ebene.)
Auf einer offenen Fläche mit überall positiver Krümmung gibt es keine geschlossene geodätische Linie.
Wenn eine Fläche vom Typus des Kreiszylinders an ihren beiden Enden Schäfte besitzt, so enthält sie ein Gebiet positiver Krümmung.
Dies sind die Resultate, die in der Arbeit formuliert werden. Sie erschöpfen gewiß nicht die Möglichkeiten, die in der Problemstellung und der Methode der Arbeit enthalten sind. Eine Fortsetzung ist inzwischen in Rec. math. Moscou (2) l (1936), 139-164 (F. d. M. 62) erschienen. Der weitere Ausbau der hiermit begonnenen Theorie aber bleibt anderen Geometern überlassen. S. Cohn-Vossen ist im Juni 1936 gestorben. (V 6 B.)

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Full Text: EuDML