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Zur geometrischen Variationsrechnung. III: Das Variationsproblem der \(F_m\) im Riemannschen \(R_n\) und eine Verallgemeinerung des Gauß-Bonnetschen Satzes. (German) JFM 61.0790.02
Verf. bemerkt einleitend: “W. Mayer und der Verf. haben kürzlich gezeigt” (Monatshefte f. Math. 40 (1933), 294-308; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 505), “daß man aus dem Verhalten des sogenannten Eulerschen Vektors in einer Kurvenschar eine ganze Reihe wichtiger differentialgeometrischer Sätze erschließen kann. Im folgenden werden analoge Untersuchungen über den Eulerschen Vektor einer einparametrigen Schar von \(m\)-dimensionalen Flächen \(F_m\) durchgeführt, allerdings von vornherein unter Beschränkung auf den Riemannschen \(R_n\) als Operationsraum. Auch hier steht wieder eine allgemeine Formel für die Ableitung des Eulerschen Vektors nach dem Scharparameter im Mittelpunkte der Untersuchung. Diese Formel ist selbstverständlich aufs engste verknüpft mit dem Ausdruck für die zweite Variation der \(F_m\) im Riemannschen \(R_n\) und ist somit eine Art Verallgemeinerung einiger Formeln, die vor mehreren Jahren von \(E. Bortolotti\) aufgestellt worden sind (Mem. Accad. Sc. Ist. Bologna (7) 5 (1928), 43-48; Giorn. di Mat. 66 (1928), 153-186. F. d. M. 54; 765, 760).
“In der erwähnten Abhandlung zeigen wir, daß man aus der entsprechenden Formel, wenn man sie auf Kurven des Riemannschen \(R_2\) anwendet, einen verhältnismäßig einfachen Beweis der Gauß-Bonnetschen Integralformel gewinnen kann. Die Vermutung lag nahe, daß man aus der allgemeinen Formel mittels analoger Methoden eine Verallgemeinerung dieses wichtigen Satzes der Flächentheorie erhalten könne, und das ist in der Tat der Fall. Allerdings zeigt sich ein wesentlicher, aber offenbar in der Natur der Sache begründeter Unterschied; während im zweidimensionalen die zum Beweis benutzte Kurvenschar in der Endformel nicht mehr erscheint, bleibt die entsprechende \(F_m\)-Schar im mehrdimensionalen erhalten, d. h. es erscheinen in der Endformel Größen, die von dieser Schar abhängen.”
Die hier erwähnte Endformel des verallgemeinerten Gauß-Bonnetschen Satzes lautet: \[ \int\limits_RH\,do+\int\limits_G\left(C-mH^2+\frac1{m\varphi}\varDelta\varphi+ K_\nu\right)\,dv=0. \] Dabei bedeuten: \(R\) eine geschlossene \(F_m\), \(H\) deren mittlere Krümmung, \[ do=\sqrt\gamma\,du_1\,du_2\dots du_m, \] deren \(m\)-dimensionales Volumelement, \(G\) ein von der Schar \[ x_i(u_\alpha,\varepsilon)\quad (i=1,\dots,m+1;\,\alpha=1,\dots,m) \] schlicht überdecktes Gebiet vom Rand \(R\), \(C\) die Casoratikrümmung der \(F_m\), \(\zeta^i=\varphi\nu^i=\dfrac{\partial x_i}{\partial \varepsilon},\;\nu^i\) Normalvektor, \(\varDelta\) zweiter Beltramischen Differentiator, \(K_\nu\) Richtungsinvariante der Riemannschen Krümmung der Riemannschen \(R_{m+1}\) in der Normalenrichtung \(\nu^i\), \(dv =\varphi\sqrt{g}\,du_1\,du_2\dots du_m\,d\varepsilon\) (m + 1)-dimensionale Volumelement der \(R_{m+1}\). Zwei weitere Formulierungen des Satzes sind durch die Formeln \[ \begin{aligned} &\int\limits_RH\,do+\int\limits_G\left(\frac1{m\varphi^2}\nabla\varphi-mH^2+ K_\nu\right)\,dv=0,\\ &\int\limits_RH\,do+\int\limits_G\left(\frac{m+1}mK_R-K_F-K_\nu+ \frac1{m\varphi}\varDelta\varphi \right)\,dv=0 \end{aligned} \] gegeben, worin \(K_F\) und \(K_R\) bzw. die Krümmungsskalare der \(F_m\) bzw. \(R_{m+1}\) bedeuten, und \(\nabla\) den ersten Beltramischen Differentiator bezeichnet. (V 6 B.)

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