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Statistical theory of turbulence. (English) JFM 61.0926.02
Verf. entwickelt seine im Jahre 1921 (Proc. London math. Soc. (2) 20 (1921), 196-211; F. d. M. 48, 961 (JFM 48.0961.01)) begonnene statistische Theorie der turbulenten Strömung weiter. Es werden mehrere Längen, ähnlich dem Prandtlschen Mischungsweg, eingeführt: Erstens bei Lagrangescher Auffassung \(l_1 = \sqrt{\overline{v^2}}\int\limits_0^T R_\xi d\xi\), wo \(R_\xi\) die Korrelation zwischen den Geschwindigkeiten desselben Teilchens beim Zeitunterschied \(\xi\) bedeutet, \(T\) eine Zeit, in der praktisch die Korrelation Null geworden ist; zweitens \(l_2=\int\limits_0^Y R_y dy\), wo nach Eulerscher Auffassung \(R_y\) die Korrelation der gleichzeitigen Geschwindigkeiten an zwei um \(y\) entfernten Stellen ist, gemessen in Richtung der \(y\)-Koordinate. Drittens ist die Länge \(\lambda\) definiert durch den Grenzwert \(\dfrac1{\lambda^2}=\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{1-R_y}{y^2}\). Bei Annahme von Isotropie in der Wirbelverteilung ergibt sich für die Dissipationsfunktion \[ \frac{\overline{W}}{\mu}=7{,}5 \overline{ \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 }= \frac{15\overline{u^2}}{\lambda^2}. \] Hier ist vielleicht als das mathematisch Interessanteste der Arbeit der Nachweis hervorzuheben, daß von den 45 Mittelwerten \(\overline{\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2}\), \(\overline{\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)^2}\), \(\overline{\dfrac{\partial u}{\partial x}} \;\overline{\dfrac{\partial u}{\partial y}}, \ldots\) usw. zunächst aus Symmetriegründen bei Annahme der Isotropie nur 10 unabhängig sind, daß sich aber auch diese infolge der Inkompressibilität und weiterer Ausnutzung der Isotropie auf einen einzigen Wert zurückführen lassen. Diese Isotropie liegt allen Untersuchungen zugrunde. Eine vierte Länge ist \(\lambda_\eta\) aus \[ \frac1{\lambda_\eta^2}=\lim_{\eta\to 0}\frac{1-R_\eta}{\eta^2},\qquad \text{wo} \quad d\eta=v'd\xi=\frac{v'}Udx \quad \text{und} \quad v'=\sqrt{\overline{v^2}}. \] Als fünfte tritt bei Gittern noch die Maschenlänge \(M\) hinzu.
Hauptsächlich werden nun teils theoretisch, teils experimentell Beziehungen zwischen diesen verschiedenen Längen aufgestellt, so etwa hinter Gittern experimentell \(l_1 = 0{,}1\,M\) und \(l_2 = 0{,}2\,M\), während theoretische Überlegungen \(\lambda_\eta\) als konstantes Vielfaches von \(\lambda\) ergeben sowie die Beziehung \(\sqrt{\overline{\left(\dfrac{\partial p}{\partial y}\right)^2}}= \sqrt{2\varrho}\,\overline{v^2}\lambda_\eta\). Die Experimente beziehen sich auch auf das Strömen zwischen parallelen Wänden. Hier ist vielleicht das experimentelle Ergebnis besonders hervorzuheben, daß, von der Mitte des Kanals an gerechnet, zunächst bis zu einer gewissen Stelle die Dissipation der Energie stärker ist als die Umwandlung in turbulente Energie, dann umgekehrt die letztere überwiegt. Das stimmt so nicht mit theoretischen Ergebnissen von Schlichting (vgl. die vorstehend besprochene Arbeit), kommt aber vielleicht daher, daß die hier vorgetragene Theorie nicht am Rand stimmt, wegen Verletzung der Isotropie.

MSC:
76Fxx Turbulence
62P35 Applications of statistics to physics
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