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Über die Beziehungen zwischen den Faktorensystemen und der Normklassengruppe eines galoisschen Erweiterungskörpers. (German) JFM 61.1036.06
Es sei \(K\) eine separable Galoissche Erweiterung des Körpers \(k\) und \(\mathfrak G\) die zugehörige Galoissche Gruppe. Ist \(k^*\) die multiplikative Gruppe der Elemente \(\neq 0\) aus \(k\), ist \(N^*_{K/k} = N^*\) die Untergruppe, die aus den Relativnormen von Zahlen \(\neq 0\) aus \(K\) besteht, so ist die Normenklassengruppe als die Faktorgruppe \(k^*/N^*\) definiert. Ist weiter \(a_{S,T}\) ein zu \(K\) gehöriges Faktorensystem, so werde für \(R\) in \(\mathfrak G\) gesetzt: \[ F (R, (a)) = \prod\limits_{S<\mathfrak G} a_{R,S},\qquad \mathfrak F(R, (a)) = F (R, (a)) \cdot N^*. \] Dann bleibt \(\mathfrak F(R, (a))\) ungeändert, wenn \(a\) durch ein assoziiertes Faktorensystem ersetzt wird. Die Abbildung \(R\to\mathfrak F(R, (a))\) stellt einen Homomorphismus von \(\mathfrak G\) auf eine Untergruppe der Normenklassengruppe dar. Dabei wird die Kommutatorgruppe \(\mathfrak G'\) von \(\mathfrak G\) auf das Einheitselement \(N^*\) der Normenklassengruppe abgebildet. Stimmt der Exponent des Faktorensystems \(a\) mit dem Grad \(n\) von \(K\) überein, so wird kein Element außerhalb von \(G'\) auf \(N^*\) abgebildet. (Dieses Resultat stammt von Akizuki (Math. Ann. 112 (1936), 566-571; JFM 62.0108.*), in der Arbeit wird nur der Spezialfall eines Abelschen Körpers \(K\) behandelt.)
Diese Resultate werden auf die Klassenkörpertheorie im kleinen angewendet. Man erhält so den Isomorphiesatz. Ist ferner \(k\) ein \(\mathfrak p\)-adischer Körper und \(\mathfrak p\) sein Primideal, ist \(K\) ein Abelscher Körper vom Grad \(n\) über \(k\), und ist die Hassesche Invariante der Algebra \((a, K, \mathfrak G)\) durch \(-\mu/n (\operatorname{mod} 1)\) gegeben, so ist \(\bigg(\dfrac{\beta,K}{\mathfrak p} \bigg) = S^\mu\) für \(\beta\) in \(\mathfrak F (S, (a))\). Das läßt sich auch auf algebraische Zahlkörper übertragen.

Citations:
JFM 62.0108.*
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References:
[1] C. Chevalley: La théorie du symbole de restes normiques, Journal für Math.169 (1933), S. 141–157, Lemme 5. · JFM 59.0164.02
[2] Für das Folgende vgl. H. Hasse: Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper, Math. Annalen107 (1933), S. 731–760 (zit. H.) und die in der Anmerkung 4) zitierte Arbeit von C. Chevalley (zit. C.). · JFM 59.0942.01
[3] S. Iyanaga: Zum Beweis des Hauptidealsatzes, Abh. Math. Sem. Hamburg10 (1934), S. 349–357. · JFM 60.0895.01
[4] Y. Akizuki: Eine homomorphe Zuordnung der Elemente der galoisschen Gruppe zu den Elementen einer Untergruppe der Normklassengruppe, erscheint demnachst in Math. Annalen. · Zbl 0013.29302
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