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On the construction of Riemann matrices. (English) JFM 61.1037.02

Die Arbeit ist eine Fortsetzung früherer Untersuchungen des Verf. (Ann. of Math. (2) 35 (1934), 1-28; JFM 60.0908.*). Es wird die Existenzfrage für Riemannsche Matrizen mit gegebener Multiplikationsalgebra \(D\) behandelt. Im Fall Riemannscher Matrizen der ersten Art (d. h. wenn das Zentrum von \(D\) bei dem gegebenen Antiautomorphismus elementweise fest bleibt) werden drei Typen unterschieden. \(D\) ist hier eine normale Divisionsalgebra vom Grad l oder 2 über ihrem Zentrum \(K\). Versteht man unter dem Singularitätsindex \(k\) den Rang der linearen Mannigfaltigkeit der beim Antiautomorphismus festen Größen von \(D\) in bezug auf den Grundkörper \(F\), und ist \(t\) der Grad von \(K\) in bezug auf den Grundkörper \(F\), so handelt es sich um die Fälle: (1) \(D = K\), also \(k = t\). Es gibt dann und nur dann zugehörige Riemannsche Matrizen, wenn das Geschlecht \(p\) durch \(t\) teilbar ist. (2) \(D\) verallgemeinerte Quaternionenalgebra über \(K\) und \(k = 3t\). Die Existenzbedingung ist hier \(2t|p\). (3) \(D\) verallgemeinerte Quaternionenalgebra und \(k = t\). Die Existenzbedingung ist \(2t|p\), \(p > 2t\).
Im Fall von Riemannschen Matrizen der zweiten Art werden die Fälle behandelt, daß \(D\) entweder mit dem Zentrum übereinstimmt oder vom Grad 2 über dem Zentrum ist. In diesem Fall sind aber nicht alle \(D\) von einer dieser Formen. Die Existenzbedingungen sind in den betrachteten Fällen ähnlich wie die oben genannten Bedingungen bei Riemannschen Matrizen erster Art.

Citations:

JFM 60.0908.*
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