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Involutorial simple algebras and real Riemann matrices. (English) JFM 61.1038.01

In dieser für die Theorie der Riemannschen Matrizen wichtigen Arbeit wird zunächst gezeigt, daß, wenn der Hilbertsche Irreduzibilitätssatz für einen Körper \(k\) gilt, er auch für jeden Erweiterungskörper \(\operatorname{Re}\) von endlichem Grad über \(k\) gültig ist. W. Franz (Math. Z. 33 (1931), 275-293; JFM 57.0124.*) hatte dies nur unter der Voraussetzung gezeigt, daß \(K\) separabel ist. Dieser Satz wird später als Hilfssatz verwendet. Darauf folgt eine eingehende Untersuchung der involutorischen einfachen Algebren; das sind die einfachen Algebren, die Antiautomorphismen der Ordnung 2 zulassen. Ist \(\mathfrak U\) eine derartige Algebra, so gilt das gleiche für jede Algebra der Klasse von \(\mathfrak U\), und die zugehörigen Antiautomorphismen lassen sich so wählen, daß das Zentrum stets ebenso wie bei \(\mathfrak U\) abgebildet wird. Die Klassen der involutorischen einfachen Algebren lassen sich vollständig charakterisieren.
Ist der zugrunde gelegte Körper ein algebraischer Zahlkörper, so gelingt es, die zugehörigen Divisionsalgebren genau zu beschreiben. Darauf werden Weylsche Matrizen \(R\) (vgl. H. Weyl, Ann. of Math. (2) 35 (1934), 714-729; JFM 60.0907.*) behandelt. Die Algebra der mit \(R\) vertauschbaren Matrizen mit Koeffizienten aus dem zugrunde gelegten “rationalen” Körper \(F\) wird als Multiplikationsalgebra von \(R\) bezeichnet. Diese ist im Fall einer reinen Matrix \(R\) eine involutorische Divisionsalgebra. Es wird gezeigt, daß für sie außerdem gewisse Vorzeichenbedingungen erfüllt sein müssen. Ein in gewisser Weise zugeordnetes Faktorensystem, das im Fall einer involutorischen Algebra dem Einssystem assoziiert ist, muß sich im Fall der Multiplikationsalgebra einer Riemannschen Matrix mit Hilfe total-positiver Größen in das Einssystem transformieren lassen.
Ist \(R\) eine Weylsche Matrix, so bildet die Gesamtheit aller Matrizen \(A\) aus \(F\), für die auch \(R^{-1}AR\) in \(F\) liegt, eine Algebra über \(F\). Diese enthält die Multiplikationsalgebra von \(R\). Sind beide Algebren identisch, so heißt \(R\) zentral. Man kann die Behandlung allgemeiner Weylscher Matrizen auf die zentraler zurückführen. Die irredzuziblen Bestandteile einer zentralen Weylschen Matrix sind wieder zentral. Es folgt die Untersuchung der Inversen einer irreduziblen zentralen Weylschen Matrix, die dann wieder dieselben Eigenschaften hat, und einer damit im Zusammenhang stehenden Algebra.
Sodann wird die Beziehung zwischen Riemannschen Matrizen und Weylschen Matrizen behandelt. Eine Riemannsche Matrix \(\omega\) vom Geschlecht \(p\) heißt reell, wenn es in \(F\) eine Matrix \(L\) mit \(L^2= I_{2p}\) gibt, für die eine Formel \(\lambda\omega=\overline{\omega}L\) besteht. Man kann eine Reduktionstheorie der reellen Riemannschen Matrizen entwickeln und die Multiplikationsalgebra behandeln, wobei man auf die oben erwähnten Untersuchungen über die Inverse einer Weylschen Matrix kommt.
Das letzte Kapitel ist den Existenzfragen gewidmet. Es wird gezeigt, daß zu allen Divisionsalgebren, die den oben erwähnten Bedingungen genügen, auch wirklich zentrale Weylsche Matrizen \(R\) gehören. Auch für reelle Riemannsche Matrizen lassen sich die Existenzfragen beantworten, ferner, wenn die Bedingung \(R^2=\pm I_p\) hinzugefügt wird.
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