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Some easier Waring’s problems. (English) JFM 61.1065.03

\(\delta (k)\) bedeute das kleinste \(s\), für das eine von 0 verschiedene Konstante \(c\) existiert, welche unendlich viele Darstellungen in der Form \[ c = e_1x_1^k+ \cdots + e_sx^k_s \] zuläßt, wo die \(e_i =\pm 1\) sind, die \(x_i\) positiv und ganz, und wobei Lösungen wie etwa \(1= 1^k + x^k - x^k\) usw. nicht zugelassen sind. -Das kleinste \(s\), für das die Null unendlich viele solche Darstellungen (mit teilerfremden \(s_i\)) zuläßt, heiße \(\varepsilon (k)\). Daraus, daß die \(k\)-te Differenz des Polynoms \(x^k\) den Wert \(k!\), die \((k + 1)\)-te den Wert 0 hat, folgt unmittelbar \[ \delta (k)\leqq 2^k,\quad \varepsilon (k)\leqq 2^{k+1}. \] Für spezielle Werte von \(k\) beweist Verf. folgende schärfere Resultate: \[ \begin{matrix} \delta (2) = 3, \;\varepsilon(2) = 3,\;\delta (3) = 3, \;\varepsilon (3) = 4, \;\delta (4)\leqq 5,\;\varepsilon(4) = 4,\;\delta(5)\leqq 9, \;\varepsilon (9) \leqq 6,\\ \delta (6)\leqq 12, \;\varepsilon (6)\leqq 12, \;\delta (7)\leqq 14, \;\varepsilon (7) \leqq 16, \;\delta (8)\leqq 16, \;\varepsilon (8) \leqq 16, \;\varepsilon (9) \leqq 28,\\ \delta (10) \leqq 40. \end{matrix} \] Allgemein lassen sich die angegebenen Ungleichungen nach dem Vorgang von Wright (Journ. London math. Soc. 9 (1934), 267-272; JFM 60.0141.*) beispielsweise zu \[ \delta(k) =O(2^{0.571k}), \quad \varepsilon (k)=O(2^{0.665k}) \] verschärfen.

Citations:

JFM 60.0141.*
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