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Zur additiven Zahlentheorie. II. (German) JFM 61.1070.02
Es sei \(Q (n)\) die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl \(n\) als Summe einer quadratfreien Zahl und einer Primzahl, und es sei \(N_r(n)\) die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Summe von \(r\) Quadraten und einer Primzahl, d. h. die Lösungszahl von \[ n = m_1^2 +\cdots + m_r^2+ p \] in ganzen \(m\) und einer Primzahl \(p\).
Nach Page (vorstehendes Referat) ist \[ \begin{split} (1)\quad Q(n)=\prod_p\biggl(1-\dfrac{1}{p(p-1)}\biggr) \prod_{p|n}\biggr(\dfrac{p^2-p}{p^2-p-1}\biggr)\operatorname{Li} (n)\\ +O\biggl(\dfrac{n}{\log^5n}(\log \log n)^8\log\log\log n\biggr) \end{split} \] (im ersten Produkt durchläuft \(p\) alle Primzahlen und im zweiten Produkt alle Primteiler von \(n\)).
Nach S. Chowla (für \(r = 4\)) (Acta arith. 1 (1935), 115-122; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 156) und Walfisz (für \(r \geq 5\)) (Acta arith. 1 (1935), 123-160; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 157) ist \[ N_r(n)= \dfrac{\pi^{\tfrac{r}{2}}}{\varGamma \biggl(\dfrac{r}{2}+1\biggr)} \dfrac{n^{\tfrac{r}{2}}}{\log n} \mathfrak S_r(n)+o\biggl(\dfrac{n^{\tfrac{r}{2}}}{\log n}\biggr),\tag{2} \] wo \(\mathfrak S_r(n)\) die “singuläre Reihe” ist, die sich auch in endlicher Form summieren läßt.
Verf. verschärft jetzt das Restglied in (1) zu \[ O\biggl(n \log^{-\tfrac{1}{\varepsilon}}n\biggr) \] (mit beliebigem \(\varepsilon > 0\)) und die Formel (2) (\(r\geqq 4\)) zu \[ N_r (n) = \dfrac{\pi^{\tfrac{r}{2}}}{\varGamma \biggl(\dfrac{r}{2}-1\biggr)} \mathfrak S_r (n) \int\limits_0^n (n - u)^{\tfrac{r}{2}-2} \operatorname{Li} (u) du + O \biggl( n^{\tfrac{r}{2}} \log^{-\tfrac{1}{\varepsilon}} n\biggr) \] (ebenfalls mit beliebigem \(\varepsilon > 0\)).
Verf. benutzt beim Beweise ein neueres Resultat von Siegel über die Klassenzahl quadratischer Zahlkörper (Acta arith. 1 (1935), 83-86; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 170). (III 7.)

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