×

Arithmétique et géométrie sur les variétés algébriques. (French) JFM 61.1078.03

Actualités Scientifiques et Industrielles 206 (Exposés mathématiques, publiés à la mémoire de Jacques Herbrand, XI.) Paris: Hermann & Cie. 16 p. (1935).
Verf. hat in seiner Thèse [Acta Math. 52, 281-315 (1929; JFM 55.0713.01)] den Begriff der Verteilung (distribution) auf einer algebraischen Kurve (\(=\) Zuordnung, bei der jedem algebraischen Punkt einer algebraischen Kurve ein Ideal eines algebraischen Zahlkörpers entspricht) aufgestellt und untersucht. Hier wird dieser Begriff auf beliebige algebraische Mannigfaltigkeiten übertragen und ein einfaches Übertragungsprinzip abgeleitet, welches die Theorie der Verteilungen zur Ideal- bzw. Divisorentheorie der algebraischen Funktionenkörper in Beziehung setzt.
Sei \(V\) eine \(p\)-dimensionale algebraische Mannigfaltigkeit im projektiven Raum \(R^n\) und \(k\) der Körper aller algebraischen Zahlen. \(V\) entspreche das Primideal \(\mathfrak P\) in \[ k[x_0,\dots,x_n], \] \(\varOmega _0\) sei der zugehörige Restklassenring und \(\varOmega \) der Ring der bezüglich \(\varOmega _0\) ganzen Elemente des Quotientenkörpers von \(\varOmega _0\). Alle Homomorphismen \(\alpha \) von \(\varOmega \) auf \(k\), die \(x_{0}\),…, \(x_{n}\) nicht sämtlich in 0 überführen und sich nur um solche Automorphismen von \(\varOmega \) unterscheiden, welche die Quotienten der \(x_i\) invariant lassen, bilden zusammen eine Stelle \(\pi \) von \(V\). Es sei \(\mathfrak A\) ein homogenes Ideal mit der Basis \(f_1\),…, \(f_l\), und es seien \(f_1\),…, \(f_l\) homogene Funktionen der Grade \(d_1\),…, \(d_l\). Bei geeigneter Wahl des algebraischen Zahlkörpers \(R(\mathfrak A, \pi )\) und des die Stelle \(\pi \) repräsentierenden Homomorphismus \(\alpha \) kann man dem homogenen Ideal \(\mathfrak A\) das Ideal \[ \mathfrak a(\pi )=\biggl(\frac{f_(\alpha )}{(x)^{d_1}},\dots, \frac{f_l(\alpha )}{(x)^{d_l}}\biggr) \] von \(R(\mathfrak A, \pi )\) zuordnen, wobei \((x)\) den größten gemeinschaftlichen Idealteiler von \[ x_0(\alpha ),\dots,x_n(\alpha ) \] bezeichnet. Dieses nur von der Stelle \(\pi \) abhängige Ideal \(\mathfrak a(\pi )\) heißt, als Funktion von \(\pi \), die zu \(\mathfrak A\) gehörige Verteilung (distribution) auf der algebraischen Mannigfaltigkeit \(V\).
Zwei Ideale \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\) von \(\varOmega \) heißen äquivalent, wenn für passende \(\varrho \), \(\sigma \) \[ \mathfrak {A\cdot N^\varrho \equiv 0(B), B\cdot N^\sigma \equiv 0(A)}\;\;\text{mit}\;\;\mathfrak N=(x_0,\dots,x_n) \] gilt. Zwei Verteilungen heißen äquivalent, wenn es Konstanten \(c\), \(d\) gibt, so daß \[ c\cdot\mathfrak a(\pi )\equiv0\;\;\bigl(\mathfrak b(\pi )\bigr),\;d\cdot\mathfrak b(\pi )\equiv0\;\;\bigl(\mathfrak a(\pi )\bigr) \] an jeder Stelle \(\pi \) gilt. Dann entsprechen äquivalente Verteilungen äquivalenten Idealen, Teiler (Produkte, größte gemeinsame Teiler) äquivalenter Verteilungen Teilern (Produkten, größten gemeinsamen Teilern) äquivalenter Ideale. Die Zerlegungssätze für Verteilungen werden dadurch auf die der Klassen äquivalenter Ideale, d. h. der Divisoren, zurückgeführt.
Anwendungsbeispiel: Die Verteilung, die dem Diskriminantenideal einer unverzweigten Überlagerung von \(V\) entspricht, ist äquivalent (1). (III 5 B, IV 6 C, V 5 E.)

MSC:

14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry

Citations:

JFM 55.0713.01