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Ein Satz über Jacobi-Ketten zweiter Ordnung. (German) JFM 61.1083.03
Von einem früheren Satz des Verf. (vgl. Sitzungsber. Akad. München 38 (1908), 181-199; F. d. M. 39, 230 (JFM 39.0230.*)) wird sowohl eine Verallgemeinerung als auch ein vereinfachter Beweis mitgeteilt. Der neue Satz lautet:
Wenn die Elemente der Jacobi-Kette zweiter Ordnung \[ \begin{bmatrix}\;&\;&\,&\\ a_0,&a_1,&a_2,&\ldots\\ b_0,&b_1,&b_2,&\ldots\\ c_0,&c_1,&c_2,&\ldots\end{bmatrix} =\begin{cases} \beta _0\\ \gamma _0\end{cases} \] ganze rationale Zahlen sind und den Ungleichungen \[ c_\nu \geqq a_\nu \geqq 1,\;\, c_\nu \geqq a_\nu +b_\nu -1,\;\, b_\nu \geqq a_\nu -1\qquad(\nu =0, 1, 2,\dots) \] genügen, so ist die Kette konvergent, und ihr Wertesystem \(\beta _0\), \(\gamma _0\) ist linear unabhängig, d. h. es besteht keine Relation der Form \[ Pa_0+Q\beta _0+R\gamma _0=0 \] mit ganzen rationalen \(P\), \(Q\), \(R\), die nicht sämtlich verschwinden.
Unter Konvergenz und Wertesystem der Jacobi-Kette ist die Existenz der Grenzwerte \[ \lim_{\nu \to\infty }\frac{B_\nu }{A_\nu }=\frac{\beta _0}{a_0},\;\;\lim_{\nu \to\infty }\frac{C_\nu }{A_\nu }=\frac{\gamma _0}{a_0} \] zu verstehen, wobei die Zahlenfolgen \(A_{\nu }\), \(B_{\nu }\), \(C_{\nu }\) durch die Rekursionsformeln \[ \begin{aligned} &A_{\nu +3}=a_\nu A_\nu +b_\nu A_{\nu +1}+c_\nu A_{\nu +2}\\ &B_{\nu +3}=a_\nu B_\nu +b_\nu B_{\nu +1}+c_\nu B_{\nu +2}\\ &C_{\nu +3}=a_\nu C_\nu +b_\nu C_{\nu +1}+c_\nu C_{\nu +2}\end{aligned} \qquad(\nu =0, 1, 2,\dots ) \] mit den Anfangswerten \[ \begin{pmatrix}\;&\;&\\ A_0&A_1&A_2\\ B_0&B_1&B_2\\ C_0&C_1&C_2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\;&\;&\\ 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix} \] definiert sind.
Der frühere Satz ist der Spezialfall \(a_{\nu } = 1\).
Ist die Jacobi-Kette periodisch (d. h. gibt es ein \(k > 0\) derart, daß von einem gewissen \(\nu \) an \(a_{\nu+k} = a_\nu \), \(b_{\nu +k} = b_\nu \), \(c_{\nu+k} = c_\nu \) ist), so gehört das Wertesystem \(\beta _0\), \(\gamma _0\) einem algebraischen Körper an, der durch eine kubische Gleichung bestimmt ist. Die Irreduzibilität dieser Gleichung folgt hier sofort aus der linearen Unabhängigkeit von \(\beta _0\) und \(\gamma _0\).

Subjects:
Zweiter Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 8. Diophantische Approximationen. Transzendente Zahlen.
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Full Text: EuDML